VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: CÁCH VẼ ĐỒ THỊ, ỨNG DỤNG, BÀI TẬP - VẬT LÝ - 2026

Một vectơ trong không gian là tất cả những gì được biểu diễn bởi một hệ tọa độ cho bởi x, y và z. Phần lớn thời gian mặt phẳng xy là mặt phẳng nằm ngang và trục z biểu thị chiều cao (hoặc chiều sâu).

Các trục tọa độ Descartes thể hiện trong hình 1 chia không gian thành 8 vùng được gọi là bát phân, tương tự như cách trục x - y chia mặt phẳng thành 4 góc phần tư. Sau đó chúng ta sẽ có octant thứ nhất, octant thứ 2, v.v.

Hình 1. Một vectơ trong không gian. Nguồn: tự làm.

Hình 1 là biểu diễn của vectơ v trong không gian. Cần có một số phối cảnh để tạo ảo giác về ba chiều trên mặt phẳng của màn hình, điều này đạt được bằng cách vẽ một hình chiếu xiên.

Để vẽ đồ thị một vectơ 3D, người ta phải sử dụng các đường chấm xác định trên lưới tọa độ của hình chiếu hoặc "bóng" của v trên bề mặt xy. Phép chiếu này bắt đầu tại O và kết thúc tại điểm màu xanh lục.

Khi đến đó, bạn phải tiếp tục dọc theo phương thẳng đứng đến độ cao (hoặc độ sâu) cần thiết theo giá trị của z, cho đến khi bạn đến P. Vectơ được vẽ bắt đầu từ O và kết thúc tại P, trong ví dụ này là ở bát phân thứ nhất.

Các ứng dụng

Vectơ trong không gian được sử dụng rộng rãi trong cơ học và các ngành khác của vật lý và kỹ thuật, vì các cấu trúc bao quanh chúng ta yêu cầu hình học trong ba chiều.

Các vectơ vị trí trong không gian được sử dụng để định vị các đối tượng liên quan đến một điểm tham chiếu được gọi là điểm gốc HOẶC. Do đó, chúng cũng là công cụ cần thiết trong điều hướng, nhưng đó không phải là tất cả.

Các lực tác động lên các kết cấu như bu lông, giá đỡ, dây cáp, thanh chống, v.v. có bản chất là vector và được định hướng trong không gian. Để biết tác dụng của nó, cần phải biết địa chỉ của nó (và cả điểm áp dụng).

Và thường hướng của một lực được biết bằng cách biết hai điểm trong không gian thuộc về đường tác dụng của nó. Theo cách này, lực là:

F = F u

Trong đó F là độ lớn hoặc độ lớn của lực và u là vector đơn vị (module 1) đạo dọc theo dòng của hành động F .

Ký hiệu và biểu diễn vectơ 3D

Trước khi chúng ta giải quyết một số ví dụ, chúng ta sẽ xem xét ngắn gọn ký hiệu vector 3D.

Trong ví dụ ở hình 1, vectơ v, có điểm gốc trùng với điểm gốc O và điểm cuối là điểm P, có tọa độ xyz dương, trong khi tọa độ y là âm. Các tọa độ này là: x ₁ , y ₁ , z ₁ , chính xác là tọa độ của P.

Vì vậy, nếu chúng ta có một vectơ được liên kết với điểm gốc, tức là điểm bắt đầu của nó trùng với O, thì rất dễ dàng chỉ ra tọa độ của nó, đó sẽ là tọa độ của điểm cực trị hoặc P. Để phân biệt giữa một điểm và một vectơ, chúng ta sẽ sử dụng các chữ cái in đậm cuối cùng và dấu ngoặc vuông, như sau:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Trong khi điểm P được biểu thị bằng dấu ngoặc đơn:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Một cách biểu diễn khác sử dụng các vectơ đơn vị i , j và k xác định ba hướng của không gian trên các trục x, y và z tương ứng.

Các vectơ này vuông góc với nhau và tạo thành một cơ sở trực chuẩn (xem hình 2). Điều này có nghĩa là một vectơ 3D có thể được viết dưới dạng:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Angles and Director Cosines of a Vector

Hình 2 cũng cho thấy các góc đạo diễn γ ₁ , γ ₂ và γ ₃ mà vectơ v tạo ra tương ứng với các trục x, y và z. Biết các góc này và độ lớn của vectơ, nó hoàn toàn được xác định. Ngoài ra, cosin của các góc đạo diễn đáp ứng mối quan hệ sau:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Hình 2. Các vectơ đơn vị i, j và k xác định 3 hướng ưu tiên của không gian. Nguồn: tự làm.

Bài tập đã giải

-Bài tập 1

Trong hình 2, các góc γ ₁ , γ ₂ và γ ₃ mà vectơ v của môđun 50 tạo với các trục tọa độ lần lượt là: 75,0º, 60,0º và 34,3º. Tìm các thành phần Descartes của vectơ này và biểu diễn nó dưới dạng các vectơ đơn vị i , j và k .

Giải pháp

Hình chiếu của vectơ v lên trục _x là v _x = 50. cos 75º = 12,941. Tương tự, hình chiếu của v trên trục y là v _y = 50 cos 60 º = 25 và cuối cùng trên trục z là v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Bây giờ v có thể được biểu thị là:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Bài tập 2

Tìm lực căng của mỗi dây để giữ cái xô ở trạng thái cân bằng trong hình, nếu trọng lượng của nó là 30 N.

Hình 3. Biểu đồ ứng suất cho bài tập 2.

Giải pháp

Trên thùng, biểu đồ vật tự do chỉ ra rằng T _D (xanh lục) lệch với trọng lượng W (vàng), do đó T _D = W = 30 N.

Tại nút, vectơ T _D hướng thẳng đứng xuống dưới thì:

T _D = 30 (- k ) N.

Để thiết lập các điện áp còn lại, hãy làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tọa độ của tất cả các điểm

A = (4,5,0,3) (A nằm trên mặt phẳng của bức tường xz)

B = (1,5,0,0) (B nằm trên trục x)

C = (0, 2,5, 3) (C nằm trên mặt phẳng của tường và z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D nằm trên mặt phẳng xy nằm ngang)

Bước 2: Tìm các vectơ theo mỗi hướng bằng cách trừ tọa độ của điểm cuối và điểm đầu

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; một; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Bước 3: Tính toán môđun và vectơ đơn vị

Một vectơ đơn vị nhận được bằng biểu thức: u = r / r, với r (in đậm) là vectơ và r (không in đậm) là môđun của vectơ nói trên.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; một; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -một; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Bước 4: Biểu thị tất cả các ứng suất dưới dạng vectơ

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -một; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Bước 5: Áp dụng điều kiện cân bằng tĩnh và giải hệ phương trình

Cuối cùng, điều kiện cân bằng tĩnh được áp dụng cho xô, sao cho tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng lên nút bằng không:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Vì các ứng suất nằm trong không gian, nó sẽ dẫn đến một hệ ba phương trình cho mỗi thành phần (x, y và z) của ứng suất.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Giải Ta có: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Người giới thiệu

1. Bedford, 2000. A. Cơ học Kỹ thuật: Tin học. Addison Wesley. 38-52.
2. Dòng Figueroa, D.: Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Động học. 31-68.
3. Vật lý. Mô-đun 8: Vectơ. Được khôi phục từ: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Cơ học cho kỹ sư. Tĩnh Phiên bản thứ 6. Công ty xuất bản Continental. 15-53.
5. Máy tính cộng vector. Được khôi phục từ: 1728.org