Các vectơ tự do là những vectơ được xác định đầy đủ theo độ lớn, hướng và cảm giác của nó mà không cần thiết phải chỉ ra một điểm ứng dụng hoặc một điểm gốc cụ thể.
Vì vectơ vô hạn có thể được vẽ theo cách này, nên vectơ tự do không phải là một thực thể đơn lẻ, mà là một tập hợp các vectơ song song và giống hệt nhau không phụ thuộc vào vị trí của chúng.
Hình 1. Các vectơ tự do khác nhau. Nguồn: tự làm.
Giả sử chúng ta có một số vectơ có độ lớn 3 hướng thẳng đứng lên trên, hoặc có độ lớn 5 và nghiêng về bên phải, như trong Hình 1.
Cả hai vectơ này đều không được áp dụng cụ thể tại bất kỳ điểm nào. Sau đó, bất kỳ vectơ nào trong số các vectơ xanh lam hoặc xanh lục đều đại diện cho nhóm tương ứng của chúng, vì các đặc điểm của chúng - mô-đun, hướng và giác quan - không thay đổi chút nào khi chúng được chuyển đến một nơi khác trong mặt phẳng.
Một vectơ tự do thường được biểu thị trong văn bản in bằng một chữ cái in đậm, viết thường, ví dụ v. Hoặc với một chữ cái thường và một mũi tên phía trên nó nếu nó là văn bản viết tay .
Ưu điểm mà các vectơ tự do có là chúng có thể được di chuyển trong mặt phẳng hoặc trong không gian và duy trì các thuộc tính của chúng, vì bất kỳ đại diện nào của tập hợp đều có giá trị như nhau.
Đó là lý do tại sao trong vật lý và cơ học, chúng được sử dụng thường xuyên. Ví dụ, để biểu thị vận tốc chuyển động thẳng của vật rắn đang tịnh tiến, không nhất thiết phải chọn một điểm cụ thể trên vật thể. Vì vậy, vectơ vận tốc hoạt động giống như một vectơ tự do.
Một ví dụ khác về vectơ tự do là cặp lực. Một cặp gồm hai lực có độ lớn và phương bằng nhau nhưng ngược chiều nhau tác dụng vào các điểm khác nhau trên vật rắn. Tác dụng của một cặp không phải là chuyển động đối tượng, mà là gây ra chuyển động quay nhờ vào thời điểm sinh ra.
Hình 2 cho thấy một số lực tác dụng lên vô lăng. Thông qua các lực F 1 và F 2 , mômen quay được tạo ra làm quay bánh đà quanh tâm của nó và theo chiều kim đồng hồ.
Hình 2. Một vài lực tác dụng lên vô lăng làm cho nó quay theo chiều kim đồng hồ. Nguồn: Bielasko.
Bạn có thể thực hiện một số thay đổi đối với mô-men xoắn và vẫn nhận được hiệu ứng quay tương tự, ví dụ như tăng lực, nhưng giảm khoảng cách giữa chúng. Hoặc giữ nguyên lực và khoảng cách nhưng tác dụng mômen xoắn lên một cặp điểm khác trên vô lăng, tức là quay mômen quay quanh tâm.
Thời điểm của cặp đôi hay đơn giản là cặp đôi, là một vectơ có mô đun là Fd và hướng vuông góc với mặt phẳng của bánh đà. Trong ví dụ được hiển thị theo quy ước, chiều quay theo chiều kim đồng hồ có chiều âm.
Thuộc tính và đặc điểm
Không giống như vectơ tự do v, vectơ AB và CD là cố định (xem hình 3), vì chúng có điểm đầu và điểm đến xác định. Nhưng vì chúng nhân nhượng với nhau và lần lượt với vectơ v , chúng là đại diện của vectơ tự do v .
Hình 3. Vectơ tự do, vectơ thấu kính đội và vectơ cố định. Nguồn: tự làm.
Các thuộc tính chính của vectơ tự do là:
- Bất kỳ vectơ AB nào (xem hình 2), như đã nói, là đại diện của vectơ tự do v .
- Môđun, phương và giác giống nhau trong bất kỳ đại diện nào của vectơ tự do. Trong Hình 2, các vectơ AB và CD đại diện cho vectơ tự do v và là thấu kính đồng đội.
-Cho một điểm P trong không gian, luôn có thể tìm được đại diện của vectơ tự do v có gốc tọa độ tại P và đại diện này là duy nhất. Đây là thuộc tính quan trọng nhất của vectơ tự do và là đặc tính khiến chúng trở nên linh hoạt.
-Một vectơ tự do rỗng được ký hiệu là 0 và là tập hợp của tất cả các vectơ thiếu độ lớn, hướng và giác.
-Nếu vectơ AB biểu diễn vectơ tự do v thì vectơ BA biểu diễn vectơ tự do - v .
- Kí hiệu V 3 sẽ được sử dụng để chỉ định tập hợp tất cả các vectơ tự do trong không gian và V 2 để chỉ định tất cả các vectơ tự do trong mặt phẳng.
Bài tập đã giải
Với vectơ tự do, có thể thực hiện các thao tác sau:
-Tổng
-Subtraction
-Nhân vô hướng với một vectơ
-Tích tích giữa hai vectơ.
-Tổng tích giữa hai vectơ
-Sự kết hợp tuyến tính của các vectơ
Và hơn thế nữa.
-Bài tập 1
Một học sinh cố gắng bơi từ điểm này trên bờ sông đến điểm khác đối diện trực tiếp. Để đạt được điều này, nó bơi trực tiếp với tốc độ 6 km / h, theo hướng vuông góc, tuy nhiên dòng điện có tốc độ 4 km / h làm lệch hướng nó.
Tính tốc độ bơi của vận động viên bơi lội và vận tốc của người đó bị dòng điện làm lệch hướng bao nhiêu.
Giải pháp
Tốc độ kết quả của người bơi là tổng vectơ của tốc độ của anh ta (đối với dòng sông, được vẽ theo phương thẳng đứng lên trên) và tốc độ của dòng sông (được vẽ từ trái sang phải), được thực hiện như được chỉ ra trong hình dưới đây:
Độ lớn của vận tốc thu được tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông được chỉ ra, do đó:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / h = 7,2 km / h
Hướng có thể được tính bằng góc so với phương vuông góc với bờ:
α = arctg (4/6) = 33,7º hoặc 56,3º đối với bờ.
Bài tập 2
Tìm mômen của các cặp lực có trong hình vẽ:
Giải pháp
Thời điểm được tính bằng:
M = r x F
Đơn vị của thời điểm là lb-f.ft. Vì cặp đôi nằm trong mặt phẳng của màn hình, nên mômen hướng vuông góc với nó, hướng ra ngoài hoặc hướng vào trong.
Vì mô-men xoắn trong ví dụ có xu hướng quay vật thể mà nó được tác dụng (không được hiển thị trong hình) theo chiều kim đồng hồ, mô-men xoắn này được coi là hướng vào màn hình và có dấu âm.
Độ lớn của thời điểm là M = Fdsen a, trong đó a là góc giữa lực và vectơ r. Bạn phải chọn một điểm để tính thời điểm, đó là một vectơ tự do. Gốc của hệ quy chiếu được chọn, do đó r đi từ O đến điểm tác dụng của mỗi lực.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20. chọn 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. chân
Moment thuần là tổng của M 1 và M 2 : -17329,5 lb-f. chân.
Người giới thiệu
- Beardon, T. 2011. Giới thiệu về vectơ. Được khôi phục từ: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Cơ học Kỹ thuật: Tin học. Addison Wesley. 38-52.
- Dòng Figueroa, D.: Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Động học. 31-68.
- Vật lý. Mô-đun 8: Vectơ. Được khôi phục từ: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Cơ học cho kỹ sư. Tĩnh Phiên bản thứ 6. Công ty xuất bản Continental. 15-53.
- Máy tính cộng vector. Được khôi phục từ: 1728.org
- Vectơ. Phục hồi từ: en.wikibooks.org