VECTƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG: ĐỊNH NGHĨA, ĐIỀU KIỆN, BÀI TẬP - VẬT LÝ - 2026

Các vectơ không đồng phẳng là những vectơ không nằm trong cùng một mặt phẳng. Hai vectơ tự do và một điểm xác định một mặt phẳng duy nhất. Vectơ thứ ba có thể có hoặc có thể không chia sẻ mặt phẳng đó, và nếu không, chúng là vectơ không đồng phẳng.

Các vectơ không đồng phẳng không thể được biểu diễn trong không gian hai chiều như bảng đen hoặc tờ giấy, bởi vì một số trong số chúng được chứa trong không gian thứ ba. Để thể hiện chúng đúng cách, bạn phải sử dụng phối cảnh.

Hình 1. Các vectơ đồng phẳng và không đồng phẳng. (Công phu riêng)

Nếu chúng ta nhìn vào hình 1, tất cả các đối tượng được hiển thị đều nằm trong mặt phẳng của màn hình, tuy nhiên nhờ phối cảnh mà bộ não của chúng ta có thể hình dung một mặt phẳng (P) đi ra khỏi nó.

Trên mặt phẳng (P) đó là các vectơ r , s , u , còn các vectơ v và w không nằm trong mặt phẳng đó.

Do đó các vectơ r , s , u là đồng phẳng hoặc đồng phẳng với nhau vì chúng nằm trên cùng một mặt phẳng (P). Các vectơ v và w không nằm chung một mặt phẳng với bất kỳ vectơ nào khác được chỉ ra, do đó chúng không đồng phẳng.

Vectơ đồng phẳng và phương trình của mặt phẳng

Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu có ba điểm trong không gian ba chiều.

Giả sử ba điểm đó là điểm A, điểm B và điểm C xác định mặt phẳng (P). Với những điểm này, ta có thể dựng hai vectơ AB = u và AC = v bằng cách dựng đồng phẳng với mặt phẳng (P).

Tích chéo (hoặc tích chéo) của hai vectơ này dẫn đến vectơ thứ ba vuông góc (hoặc pháp tuyến) với chúng và do đó vuông góc với mặt phẳng (P):

n = u X v => n ⊥ u và n ⊥ v => n ⊥ (P)

Mọi điểm khác thuộc mặt phẳng (P) phải thỏa mãn sao cho vectơ AQ vuông góc với vectơ n ; Điều này tương đương với việc nói rằng tích số chấm (hoặc tích số chấm) của n với AQ phải bằng 0:

n • AQ = 0 (*)

Điều kiện trước tương đương với việc nói rằng:

AQ • ( u X v ) = 0

Phương trình này đảm bảo điểm Q thuộc mặt phẳng (P).

Phương trình Descartes của mặt phẳng

Phương trình trên có thể được viết dưới dạng Descartes. Để làm điều này, chúng ta viết tọa độ của các điểm A, Q và các thành phần của vectơ pháp tuyến n :

Vì vậy, các thành phần của AQ là:

Điều kiện để vectơ AQ được chứa trong mặt phẳng (P) là điều kiện (*) bây giờ được viết như sau:

Tính tích chấm còn lại:

Nếu nó được phát triển và sắp xếp lại thì nó vẫn:

Biểu thức trước là phương trình Descartes của mặt phẳng (P), là một hàm của các thành phần của vectơ pháp tuyến đối với (P) và tọa độ của một điểm A thuộc (P).

Điều kiện để ba vectơ không đồng phẳng

Như đã thấy trong phần trước, điều kiện AQ • ( u X v ) = 0 đảm bảo rằng vectơ AQ đồng phẳng với u và v .

Nếu chúng ta gọi vectơ AQ w thì chúng ta có thể khẳng định rằng:

w , u và v là đồng phẳng, nếu và chỉ khi w • ( u X v ) = 0.

Tình trạng không trùng lặp

Nếu tích ba (hoặc tích hỗn hợp) của ba vectơ khác 0 thì ba vectơ đó không đồng phẳng.

Nếu w • ( u X v ) ≠ 0 thì vectơ u, v và w không đồng phẳng.

Nếu các thành phần Descartes của các vectơ u, v và w được đưa vào, thì điều kiện không đồng dạng có thể được viết như sau:

Tích ba có cách giải thích hình học và biểu diễn thể tích của hình bình hành được tạo bởi ba vectơ không đồng phẳng.

Hình 2. Ba vectơ không đồng phẳng xác định một hình song song có thể tích là môđun của tích ba. (Công phu riêng)

Lý do như sau; Khi hai trong số các vectơ không đồng phẳng được nhân với vectơ, sẽ thu được một vectơ có độ lớn là diện tích của hình bình hành mà chúng tạo ra.

Sau đó, khi vectơ này được nhân tỉ lệ với vectơ không đồng phẳng thứ ba, ta có hình chiếu lên một vectơ vuông góc với mặt phẳng mà hai vectơ đầu tiên xác định nhân với diện tích mà chúng xác định.

Nói cách khác, chúng ta có diện tích của hình bình hành được tạo bởi hai đầu tiên nhân với chiều cao của vectơ thứ ba.

Điều kiện thay thế của tính không tương đồng

Nếu bạn có ba vectơ và bất kỳ vectơ nào trong số chúng không thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của hai vectơ còn lại, thì ba vectơ không đồng phẳng. Tức là ba vectơ u , v và w không đồng phẳng nếu điều kiện:

α u + β v + γ w = 0

Nó chỉ thỏa mãn khi α = 0, β = 0 và γ = 0.

Bài tập đã giải

-Bài tập 1

Có ba vectơ

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) và w = (-1, 2, z)

Lưu ý rằng thành phần z của vectơ w là chưa biết.

Tìm dãy giá trị mà z có thể nhận sao cho ba vectơ được đảm bảo không nằm chung trên một mặt phẳng.

Giải pháp

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Chúng tôi đặt biểu thức này bằng giá trị 0

21 z + 18 = 0

và chúng tôi giải quyết cho z

z = -18/21 = -6/7

Nếu biến z nhận giá trị -6/7 thì ba vectơ sẽ đồng phẳng.

Vì vậy, các giá trị của z đảm bảo rằng các vectơ không đồng phẳng là các giá trị trong khoảng sau:

z ∈ (-∞, -6 / 7) Ư (-6/7, ∞)

-Bài tập 2

Tìm thể tích của hình bình hành trong hình sau:

Giải pháp

Để tìm thể tích của hình bình hành được thể hiện trong hình, các thành phần Descartes của ba vectơ không đồng phẳng đồng quy tại gốc của hệ tọa độ sẽ được xác định. Vectơ thứ nhất là vectơ u bằng 4m và song song với trục X:

u = (4, 0, 0) m

Thứ hai là vectơ v trong mặt phẳng XY có kích thước 3m tạo thành 60º với trục X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

Và thứ ba là vectơ w là 5m và hình chiếu của nó trong mặt phẳng XY tạo thành 60º với trục X, ngoài ra w tạo thành 30º với trục Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Khi các phép tính đã được thực hiện, ta có: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Người giới thiệu

1. Dòng Figueroa, D.: Vật lý cho Khoa học và Kỹ thuật. Tập 1. Động học. 31-68.
2. Vật lý. Mô-đun 8: Vectơ. Được khôi phục từ: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Cơ học cho kỹ sư. Tĩnh Phiên bản thứ 6. Công ty xuất bản Continental 28-66.
4. Dòng McLean, W. Schaum. Cơ học cho Kỹ sư: Tin học và Động lực học. Phiên bản thứ 3. Đồi McGraw. 1-15.
5. Wikipedia. Véc tơ. Phục hồi từ: es.wikipedia.org