ARC (HÌNH HỌC): ĐO LƯỜNG, CÁC LOẠI VÒM, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2024

Các hồ quang , trong hình học, là bất kỳ đường cong nối hai điểm. Một đường cong, không giống như một đường thẳng, là một đường có hướng khác nhau tại mỗi điểm trên nó. Phần đối diện của một cung là một đoạn, vì đây là đoạn thẳng nối hai điểm.

Cung được sử dụng thường xuyên nhất trong hình học là cung của chu vi. Các vòm khác thường được sử dụng là vòm parabol, vòm hình elip và vòm dây xích. Hình thức vòm cũng thường xuyên được sử dụng trong kiến ​​trúc như một yếu tố trang trí và cấu trúc. Đây là trường hợp của dây chằng cửa ra vào và cửa sổ, cũng như của cầu và cống dẫn nước.

Hình 1. Cầu vồng là một đường cong nối hai điểm trên đường chân trời. Nguồn: Pixabay

Vòm và thước đo của nó

Số đo của một cung là độ dài của nó, phụ thuộc vào loại đường cong nối hai điểm và vị trí của chúng.

Độ dài của cung tròn là một trong những cách tính đơn giản nhất, bởi vì độ dài của cung tròn hoặc chu vi đã biết.

Chu vi hình tròn bằng hai pi nhân với bán kính của nó: p = 2 π R. Biết điều này, nếu chúng ta muốn tính độ dài s của một cung tròn có góc α (đo bằng radian) và bán kính R, ta áp dụng một tỷ lệ:

(s / p) = (α / 2 π)

Sau đó, xóa s khỏi biểu thức trước đó và thay chu vi p cho biểu thức của nó dưới dạng một hàm của bán kính R, ta có:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Tức là, số đo của cung tròn là tích của góc mở của nó nhân với bán kính của cung tròn.

Đối với một vòm nói chung, vấn đề phức tạp hơn, đến mức các nhà tư tưởng vĩ đại thời cổ đại tuyên bố rằng đó là một nhiệm vụ bất khả thi.

Mãi cho đến khi sự ra đời của phép tính vi phân và tích phân vào năm 1665, vấn đề đo cung bất kỳ mới được giải quyết thỏa đáng.

Trước khi phát minh ra phép tính vi phân, người ta chỉ có thể tìm ra các giải pháp bằng cách sử dụng các đường đa giác hoặc các cung có chu vi xấp xỉ với cung thực, nhưng các giải pháp này không chính xác.

Các loại cung

Theo quan điểm của hình học, các cung tròn được phân loại theo đường cong nối hai điểm trên mặt phẳng. Có các cách phân loại khác theo công dụng và hình thức kiến ​​trúc của nó.

Cung tròn

Khi đoạn thẳng nối hai điểm trong mặt phẳng là một đoạn có chu vi bán kính nhất định thì ta có một cung tròn. Hình 2 cho thấy một cung tròn c bán kính R nối hai điểm A và B.

Hình 2. Cung tròn bán kính R nối hai điểm A và B. Do Ricardo Pérez chế tạo.

Vòm parabol

Hình parabol là đường dẫn theo một vật thể được ném xiên vào không khí. Khi đường cong nối hai điểm là một parabol thì ta có một cung parabol như hình 3.

Hình 3. Cung parabol nối hai điểm A và B. Do Ricardo Pérez thực hiện.

Đây là hình dạng của tia nước phun ra từ vòi hướng lên trên. Có thể quan sát được cung parabol trong các nguồn nước.

Hình 4. Vòm hình parabol do nước tạo thành từ một đài phun nước ở Dresden. Nguồn: Pixabay.

Vòm dây xích

Vòm dây xích là một vòm tự nhiên khác. Dây xích là đường cong hình thành tự nhiên khi một chuỗi hoặc dây treo lỏng lẻo từ hai điểm riêng biệt.

Hình 5. Vòm dây xích và so sánh với vòm parabol. Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez.

Dây xích tương tự như parabol, nhưng nó không hoàn toàn giống như trong hình 4.

Vòm dây xích ngược được sử dụng trong kiến ​​trúc như một cấu kiện kết cấu chịu nén cao. Trên thực tế, nó có thể được chứng minh là loại cung mạnh nhất trong số tất cả các hình dạng có thể có.

Để xây dựng một vòm dây xích vững chắc, chỉ cần sao chép hình dạng của một sợi dây treo hoặc dây xích, sau đó hình dạng đã sao chép được lật để tái tạo nó trên cửa ra vào hoặc dây vải cửa sổ.

Vòm hình elip

Một cung là hình elip nếu đường cong nối hai điểm là một đoạn của elip. Hình elip được định nghĩa là quỹ tích của các điểm mà khoảng cách đến hai điểm đã cho luôn cộng lại thành một đại lượng không đổi.

Hình elip là một đường cong xuất hiện trong tự nhiên: nó là đường cong quỹ đạo của các hành tinh xung quanh Mặt trời, như được chứng minh bởi Johannes Kepler vào năm 1609.

Trong thực tế, một hình elip có thể được vẽ bằng cách ghim hai thanh chống xuống đất hoặc hai chốt vào một mảnh giấy và buộc một sợi dây vào chúng. Sau đó, dây được thắt chặt bằng bút đánh dấu hoặc bút chì và đường cong được theo dõi. Một mảnh hình elip là một cung elip. Hình ảnh động sau minh họa cách vẽ hình elip:

Hình 5. Truy tìm hình elip bằng dây căng. Nguồn: Wikimedia Commons

Hình 6 cho thấy một cung elip nối các điểm G và H.

Hình 6. Vòm elip nối hai điểm. Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez.

Ví dụ về vòm

Các ví dụ sau đây đề cập đến cách tính chu vi của một số vòm cụ thể.

ví dụ 1

Hình 7 cho thấy một cửa sổ hoàn thành trong một cung tròn cắt. Kích thước hiển thị trong hình được tính bằng feet. Tìm độ dài của cung tròn.

Hình 7. Tính độ dài cung tròn của cửa sổ. (Chú thích riêng - hình ảnh cửa sổ trên Pixabay)

Để có được tâm và bán kính của cung tròn của sợi dây cửa sổ, các cấu tạo sau được thực hiện trên hình:

-Vẽ đoạn KL và vẽ đường phân giác của nó.

- Sau đó, điểm cao nhất của cây đinh lăng nằm, mà chúng ta gọi là M. Tiếp theo, đoạn KM được xem xét và vẽ trung tuyến của nó.

Giao điểm của hai đường phân giác là điểm N và nó cũng là tâm của cung tròn.

-Bây giờ ta phải đo độ dài đoạn NM trùng với bán kính R của cung tròn: R = 2,8 feet.

-Để biết độ dài của cung ngoài bán kính còn phải biết góc mà cung tạo thành. Có thể xác định điểm này bằng hai phương pháp, hoặc đo bằng thước đo góc, hoặc cách khác, nó được tính bằng lượng giác.

Trong trường hợp được hiển thị, góc tạo bởi cung là 91,13º, phải được chuyển đổi sang radian:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radian

Cuối cùng ta tính độ dài s của cung bằng công thức s = α R.

s = 1,59 * 2,8 bộ = 4,45 bộ

Ví dụ 2

Tìm độ dài của cung hình elip trong hình 8, biết bán trục chính r và bán trục phụ s của hình elip.

Hình 8. Vòm elip giữa GH. Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez.

Tìm độ dài của hình elip là một trong những bài toán khó nhất trong toán học trong một thời gian dài. Bạn có thể nhận được các nghiệm được biểu thị bằng tích phân elip nhưng để có một giá trị số, bạn phải mở rộng các tích phân này trong chuỗi lũy thừa. Một kết quả chính xác sẽ yêu cầu số hạng vô hạn của chuỗi đó.

May mắn thay, thiên tài toán học người Hindu Ramanujan, sống từ năm 1887 đến năm 1920, đã tìm ra một công thức tính gần đúng chính xác chu vi của một hình elip:

Chu vi hình elip với r = 3 cm và s = ​​2,24 cm là 16,55 cm. Tuy nhiên, cung hình elip được hiển thị có một nửa giá trị đó:

Chiều dài của vòm hình elip GH = 8,28 cm.

Người giới thiệu

1. Clemens S. 2008. Hình học và Lượng giác. Giáo dục Pearson.
2. García F. Các thủ tục số trong Java. Chiều dài của một hình elip. Khôi phục từ: sc.ehu.es
3. Hình học động. Cung tên. Đã khôi phục từ hình họcantica.es
4. Piziadas. Hình elip và parabol xung quanh chúng ta. Phục hồi từ: piziadas.com
5. Wikipedia. Vòm (hình học). Phục hồi từ: es.wikipedia.com