TỶ LỆ POISSON: HỆ SỐ, CÔNG THỨC, GIÁ TRỊ, VÍ DỤ - VẬT LÝ - 2025

Các Poisson 's tỷ lệ là một đại lượng không thứ nguyên, đặc trưng của mỗi tài liệu. Nó là một biểu hiện về sự biến dạng của một phần vật liệu trước khi tác dụng một số lực nhất định.

Khi một phần vật liệu chịu một lực căng hoặc một lực nén, trải qua một biến dạng, tỷ số giữa biến dạng ngang và biến dạng dọc chính xác là tỷ số Poisson.

Hình 1. Tỷ lệ Poisson đo mối quan hệ giữa độ giãn dọc và độ hẹp ngang. (Chuẩn bị bởi Ricardo Pérez)

Ví dụ, một hình trụ cao su chịu lực căng ở các đầu của nó sẽ giãn ra theo phương dọc, nhưng thu hẹp theo phương ngang. Hình 1 cho thấy một thanh có kích thước ban đầu là: chiều dài L và đường kính D.

Thanh chịu một lực căng T ở các đầu của nó, và do hệ quả của lực căng này, nó phải chịu một lực kéo căng, do đó chiều dài mới là L '> L. Nhưng khi nó bị kéo căng, đường kính của nó cũng thu hẹp lại giá trị mới: D '<Đ.

Thương số giữa độ giãn (dương) và độ hẹp (âm) nhân với (-1), là một số dương từ 0 đến 0,5. Con số này được gọi là tỷ lệ Poisson ν (chữ cái Hy Lạp nu).

Công thức tỷ lệ Poisson

Để tính toán tỷ lệ Poisson, cần xác định biến dạng dọc và biến dạng ngang.

Biến dạng dọc ε _L là độ giãn chia cho chiều dài ban đầu:

ε _L = (L '- L) / L

Tương tự, biến dạng ngang ε _T là độ thu hẹp xuyên tâm chia cho đường kính ban đầu:

ε _T = (D '- D) / D

Do đó, tỷ lệ Poisson được tính theo công thức sau:

ν = - ε _T / ε _L

Mối quan hệ với môđun đàn hồi và môđun độ cứng

Tỷ số Poisson ν có liên quan đến môđun đàn hồi E (hoặc môđun Young) và môđun độ cứng G, theo công thức sau:

Giá trị tỷ lệ Poisson cho vật liệu

Hình 2. Thép không gỉ có tỷ lệ Poisson từ 0,30 đến 0,31. Nguồn: Pixabay.

Ví dụ tính toán

ví dụ 1

Một thanh bằng vật liệu dẻo nhất định có chiều dài 150 mm và tiết diện hình tròn có đường kính 20 mm. Khi chịu một lực nén F là 612,25 kg-f, người ta thấy thanh rút ngắn đi 14 mm, đồng thời đường kính của thanh tăng thêm 0,85 mm.

Tính toán:

a) Biến dạng dọc.

b) Biến dạng ngang.

c) Tỉ số Poisson của vật liệu đó.

d) Mô đun đàn hồi của Young ứng với vật liệu.

e) Mô đun độ cứng của chất dẻo đó.

Giải pháp cho

Nhớ lại rằng biến dạng dọc εL là độ giãn chia cho chiều dài ban đầu:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0.0933

Lưu ý rằng biến dạng dọc là không có thứ nguyên, và trong trường hợp này là âm vì có sự giảm kích thước dọc của nó.

Giải pháp b

Tương tự, biến dạng ngang εT là độ côn hướng tâm, chia cho đường kính gốc:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Biến dạng ngang là dương vì đã có sự gia tăng đường kính của thanh.

Giải pháp c

Để tính toán tỷ số Poisson, chúng ta phải nhớ rằng nó được định nghĩa là âm của thương số giữa biến dạng ngang và biến dạng dọc:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Cần nhớ rằng tỷ lệ Poisson là một số dương không có thứ nguyên và đối với hầu hết các vật liệu, nó nằm trong khoảng từ 0 đến 0,5.

Giải pháp d

Mô đun đàn hồi của Young, được ký hiệu bằng chữ E, là hằng số tỷ lệ thuận trong định luật Hooke. Theo E, ứng suất bình thường σL liên quan đến biến dạng εL, như sau:

σL = E εL

Ứng suất pháp tuyến được định nghĩa là thương số giữa lực pháp tuyến (trong trường hợp này là song song với trục của thanh) và diện tích mặt cắt ngang:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Trong bài tập này, lực F là 612,25 kg-f, lực này phải được chuyển đổi thành Newton, là đơn vị SI của lực:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Về phần mình, thiết diện A là:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Cuối cùng ứng suất pháp tuyến tác dụng lên thanh là:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Để tính môđun đàn hồi của Young, chúng ta giải cho E từ định luật Hooke σL = E εL:

E = σL / εL = 19.098.593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Giải pháp e

Môđun của độ cứng G liên quan đến môđun E của Young và tỷ số Poisson ν theo công thức sau:

E / (2 G) = 1 + ν

Từ đó, chúng tôi có thể giải quyết cho G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Ví dụ 2

Có một sợi cáp đồng đường kính 4 mm, dài 1 m. Biết rằng môđun Young của đồng là 110.000 MPa và tỉ số Poisson của nó là 0,34, hãy ước lượng độ dãn và hẹp đường kính của dây khi treo một vật nặng 100 kg-f.

Giải pháp

Trước tiên, cần tính ứng suất kéo bình thường mà trọng lượng tác dụng lên dây, theo công thức sau:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Lực F là 980 N và diện tích mặt cắt ngang là:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Khi đó ứng suất kéo là:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986,000 Pa

Tính toán độ căng của dây

Mô đun đàn hồi của Young, được ký hiệu bằng chữ E, là hằng số tỷ lệ thuận trong định luật Hooke liên hệ giữa ứng suất pháp tuyến σL với biến dạng εL:

σL = E εL

Từ đó, biến dạng dọc của dây đồng có thể được giải quyết:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Tính toán biến dạng ngang

Mặt khác, để biết biến dạng ngang, tỷ lệ Poisson được áp dụng:

ν = - εT / εL

Cuối cùng, biến dạng ngang là:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Tính toán độ căng tuyệt đối của cáp

Cuối cùng, để biết độ căng tuyệt đối của cáp, phải áp dụng mối quan hệ sau:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Điều đó có nghĩa là, với trọng lượng đó, cáp chỉ kéo dài 0,709 mm.

Tính toán giảm đường kính

Để có được đường kính co ngót tuyệt đối, chúng tôi sử dụng công thức sau:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 mm.

Đường kính thu hẹp này rất nhỏ nên khó có thể nhìn thấy bằng mắt thường, ngay cả việc đo đạc nó cũng cần một dụng cụ chính xác cao.

Người giới thiệu

1. Bia F .. Cơ học vật liệu. ngày 5. Phiên bản. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Cơ học vật liệu. Phiên bản thứ tám. Sảnh Prentice. 2011. 3-60.
3. Gere J. Cơ học vật liệu. Phiên bản thứ tám. Học tập Cengage. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Vật lý: Các nguyên tắc với ứng dụng. Tòa soạn thứ 6 Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Ghi chú về Vật lý đại cương. UNAM. 87-98.