Các phân phối nhị thức là một phân bố xác suất mà xác suất xảy ra sự kiện được tính toán, với điều kiện là chúng xảy ra dưới hai phương thức: thành công hay thất bại.
Những chỉ định này (thành công hay thất bại) là hoàn toàn tùy ý, vì chúng không nhất thiết có nghĩa là tốt hay xấu. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ ra dạng toán của phân phối nhị thức và sau đó ý nghĩa của từng thuật ngữ sẽ được giải thích chi tiết.
Hình 1. Sự cuộn của một con súc sắc là một hiện tượng có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng phân phối nhị thức. Nguồn: Pixabay.
Phương trình
Phương trình như sau:
Với x = 0, 1, 2, 3… .n, trong đó:
- P (x) là xác suất có đúng x thành công giữa n lần thử hoặc lần thử.
- x là biến mô tả hiện tượng quan tâm, tương ứng với số lần thành công.
- n số lần thử
- p là xác suất thành công trong 1 lần thử
- q là xác suất thất bại trong 1 lần thử, do đó q = 1 - p
Dấu chấm than "!" được sử dụng cho ký hiệu giai thừa, vì vậy:
0! = 1
một! = 1
hai! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Và như thế.
Ý tưởng
Phân phối nhị thức rất thích hợp để mô tả các tình huống trong đó một sự kiện xảy ra hoặc không xảy ra. Nếu nó xảy ra thì đó là một thành công và nếu không, thì đó là một thất bại. Hơn nữa, xác suất thành công phải luôn không đổi.
Có những hiện tượng phù hợp với những điều kiện này, ví dụ như tung đồng xu. Trong trường hợp này, chúng ta có thể nói rằng "thành công" là nhận được một mặt. Xác suất là ½ và không thay đổi, cho dù đồng xu được tung bao nhiêu lần.
Việc cuộn một con xúc xắc trung thực là một ví dụ điển hình khác, cũng như việc phân loại một sản phẩm nhất định thành các mảnh tốt và mảnh bị lỗi và thu được màu đỏ thay vì màu đen khi quay bánh xe roulette.
nét đặc trưng
Chúng ta có thể tóm tắt các đặc điểm của phân phối nhị thức như sau:
- Bất kỳ sự kiện hoặc quan sát nào được trích xuất từ một quần thể vô hạn không có sự thay thế hoặc từ một quần thể hữu hạn có sự thay thế.
- Chỉ có hai lựa chọn được xem xét, loại trừ lẫn nhau: thành công hoặc thất bại, như đã giải thích ở phần đầu.
- Xác suất thành công phải không đổi trong bất kỳ quan sát nào được thực hiện.
- Kết quả của bất kỳ sự kiện nào là độc lập với bất kỳ sự kiện nào khác.
- Giá trị trung bình của phân phối nhị thức là np
- Độ lệch chuẩn là:
Ví dụ ứng dụng
Hãy xem một sự kiện đơn giản, có thể nhận được 2 đầu 5 bằng cách lăn một con súc sắc trung thực 3 lần. Xác suất để trong 3 lần tung 2 đầu 5 thu được là bao nhiêu?
Có một số cách để đạt được điều này, ví dụ:
- Hai lần phóng đầu tiên là 5 và lần cuối cùng thì không.
- Đầu tiên và cuối cùng là 5 nhưng không phải là giữa.
- Hai quả ném cuối cùng là 5 quả và quả ném đầu tiên không.
Hãy lấy dãy đầu tiên được mô tả làm ví dụ và tính xác suất xuất hiện của nó. Xác suất để có 5 đầu ở cuộn thứ nhất là 1/6 và ở cuộn thứ hai, vì chúng là các sự kiện độc lập.
Xác suất lấy được đầu khác không phải 5 ở cuộn cuối cùng là 1 - 1/6 = 5/6. Do đó, xác suất mà dãy số này xuất hiện là tích của các xác suất:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Còn hai chuỗi còn lại thì sao? Chúng có cùng xác suất: 0,023.
Và vì chúng ta có tổng cộng 3 chuỗi thành công, tổng xác suất sẽ là:
Ví dụ 2
Một trường đại học tuyên bố rằng 80% sinh viên trong đội bóng rổ của trường tốt nghiệp. Một cuộc điều tra xem xét hồ sơ học tập của 20 sinh viên thuộc đội bóng rổ đã đăng ký vào trường đại học cách đây một thời gian.
Trong số 20 sinh viên này, 11 sinh viên học xong và 9 sinh viên bỏ học.
Hình 2. Hầu hết tất cả các sinh viên chơi cho đội đại học đều tốt nghiệp. Nguồn: Pixabay.
Nếu tuyên bố của trường đại học là đúng, thì số sinh viên chơi bóng rổ và tốt nghiệp là 20, nên có phân phối nhị thức với n = 20 và p = 0,8. Xác suất để có đúng 11 trong số 20 người chơi tốt nghiệp là bao nhiêu?
Giải pháp
Trong phân phối nhị thức:
Ví dụ 3
Các nhà nghiên cứu đã tiến hành một nghiên cứu để xác định xem liệu có sự khác biệt đáng kể về tỷ lệ tốt nghiệp giữa sinh viên y khoa được nhận vào các chương trình đặc biệt và sinh viên y khoa được nhận thông qua các tiêu chí nhập học thông thường hay không.
Tỷ lệ tốt nghiệp được tìm thấy là 94% đối với các bác sĩ sinh viên được nhận vào thông qua các chương trình đặc biệt (dựa trên dữ liệu từ Tạp chí của Hiệp hội Y khoa Hoa Kỳ).
Nếu chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên của chương trình đặc biệt, tìm xác suất để ít nhất 9 người trong số họ tốt nghiệp.
b) Có bất thường khi chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên từ các chương trình đặc biệt và thấy rằng chỉ có 7 người trong số họ đã tốt nghiệp?
Giải pháp
Xác suất để một sinh viên được nhận qua một chương trình đặc biệt sẽ tốt nghiệp là 94/100 = 0,94. Chúng tôi chọn n = 10 sinh viên từ các chương trình đặc biệt và chúng tôi muốn tìm xác suất để ít nhất 9 trong số họ tốt nghiệp.
Sau đó, các giá trị sau được thay thế trong phân phối nhị thức:
b)
Người giới thiệu
- Berenson, M. 1985. Thống kê cho Quản lý và Kinh tế. Interamericana SA
- MathWorks. Phân phối nhị thức. Được khôi phục từ: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Thống kê cho Quản lý và Kinh tế. lần thứ 3. phiên bản. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Thống kê Cơ bản Ứng dụng. lần 2. Phiên bản.
- Triola, M. 2012. Thống kê sơ cấp. Ngày 11. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Phân phối nhị thức. Phục hồi từ: es.wikipedia.org