Hàm logarit là một quan hệ toán học liên kết mỗi số thực dương x với logarit y của nó trên cơ số a. Quan hệ này đáp ứng các yêu cầu để trở thành một hàm: mỗi phần tử x thuộc miền có một ảnh duy nhất.
Như vậy:
Vì logarit dựa trên một số x là số y mà cơ số a phải được nâng lên để thu được x.
- Lôgarit của cơ số luôn bằng 1. Như vậy, đồ thị của f (x) = log a x luôn cắt trục x tại điểm (1,0)
-Các hàm logarit là siêu việt và không thể được biểu diễn dưới dạng đa thức hoặc thương của chúng. Ngoài lôgarit, nhóm này bao gồm các hàm lượng giác và cấp số nhân, trong số các hàm số khác.
Ví dụ
Hàm logarit có thể được thiết lập bằng nhiều cơ số khác nhau, nhưng được sử dụng nhiều nhất là 10 và e, trong đó e là số Euler bằng 2,71828….
Khi cơ số 10 được sử dụng, logarit được gọi là logarit thập phân, logarit thông thường, Briggs 'hoặc chỉ logarit đơn giản.
Và nếu số e được sử dụng, thì nó được gọi là logarit tự nhiên, theo tên John Napier, nhà toán học người Scotland, người đã khám phá ra logarit.
Kí hiệu được sử dụng cho mỗi cái như sau:
- Lôgarit thập phân: log 10 x = log x
- Lôgarit Tây Ban Nha: ln x
Khi bạn định sử dụng một cơ số khác, bạn hoàn toàn cần phải chỉ ra nó dưới dạng chỉ số con, bởi vì logarit của mỗi số là khác nhau tùy thuộc vào cơ số được sử dụng. Ví dụ, nếu nó là logarit trong cơ số 2, hãy viết:
y = log 2 x
Hãy nhìn vào lôgarit của số 10 theo ba cơ số khác nhau, để minh họa điểm này:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
Máy tính thông thường chỉ mang lại logarit thập phân (hàm log) và logarit tự nhiên (hàm ln). Trên Internet có các máy tính với các cơ sở khác. Trong mọi trường hợp, người đọc có thể xác minh, với sự trợ giúp của nó, rằng các giá trị trước đó được thỏa mãn:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10.0001
2 3,32193 = 10,0000
Sự khác biệt nhỏ về số thập phân là do số chữ số thập phân được thực hiện trong việc tính toán lôgarit.
Ưu điểm của logarit
Trong số những lợi thế của việc sử dụng logarit là sự dễ dàng mà chúng cung cấp để làm việc với các số lớn, sử dụng logarit của chúng thay vì số trực tiếp.
Điều này là có thể bởi vì hàm logarit phát triển chậm hơn khi các số lớn hơn, như chúng ta có thể thấy trong biểu đồ.
Vì vậy, ngay cả với những con số rất lớn, logarit của chúng nhỏ hơn nhiều và thao tác với những con số nhỏ luôn dễ dàng hơn.
Ngoài ra, logarit có các tính chất sau:
- Tích : log (ab) = log a + log b
- Quotient : log (a / b) = log a - log b
- Công suất : log a b = b.log a
Và theo cách này, các tích và thương trở thành phép cộng và trừ các số nhỏ hơn, trong khi chiết áp trở thành một tích đơn giản mặc dù công suất cao.
Đó là lý do tại sao logarit cho phép chúng ta biểu thị các con số thay đổi trong phạm vi giá trị rất lớn, chẳng hạn như cường độ âm thanh, độ pH của dung dịch, độ sáng của các ngôi sao, điện trở và cường độ động đất trên độ Richter.
Hình 2. Logarit được sử dụng trên thang độ Richter để định lượng độ lớn của động đất. Hình ảnh cho thấy một tòa nhà bị sập ở Concepción, Chile, trong trận động đất năm 2010. Nguồn: Wikimedia Commons.
Hãy xem một ví dụ về việc xử lý các thuộc tính của logarit:
Thí dụ
Tìm giá trị của x trong biểu thức sau:
Đáp lại
Ở đây chúng ta có một phương trình logarit, vì ẩn số nằm trong đối số của logarit. Nó được giải bằng cách để lại một logarit duy nhất trên mỗi cạnh của đẳng thức.
Chúng tôi bắt đầu bằng cách đặt tất cả các số hạng có chứa "x" ở bên trái của hằng đẳng thức và những số hạng chỉ chứa các số ở bên phải:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Ở bên trái, chúng ta có phép trừ hai logarit, có thể được viết dưới dạng logarit của một thương:
log = 1
Tuy nhiên, ở bên phải là số 1, chúng ta có thể biểu thị dưới dạng log 10, như chúng ta đã thấy trước đó. Vì thế:
log = log 10
Để đẳng thức là đúng, các đối số của logarit phải bằng nhau:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 15/11
Bài tập ứng dụng: thang độ Richter
Năm 1957, một trận động đất xảy ra ở Mexico với cường độ 7,7 độ Richter. Năm 1960, một trận động đất khác có cường độ lớn hơn xảy ra ở Chile, với cường độ 9,5.
Hãy tính xem trận động đất ở Chile có cường độ mạnh hơn trận động đất ở Mexico bao nhiêu lần, biết rằng cường độ M R trên độ Richter được cho bởi công thức:
M R = log (10 4 I)
Giải pháp
Cường độ trên độ Richter của một trận động đất là một hàm logarit. Chúng tôi sẽ tính toán cường độ của mỗi trận động đất, vì chúng tôi có cường độ Richter. Hãy thực hiện từng bước:
- Mexico : 7,7 = log (10 4 I)
Vì nghịch đảo của hàm logarit là hàm mũ, chúng tôi áp dụng điều này cho cả hai vế của đẳng thức với mục đích giải cho I, được tìm thấy trong đối số của logarit.
Vì chúng là logarit thập phân nên cơ số là 10. Khi đó:
10 7.7 = 10 4 I
Cường độ của trận động đất ở Mexico là:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Chilê : 9,5 = log (10 4 I)
Quy trình tương tự dẫn chúng ta đến cường độ của trận động đất I Ch ở Chile :
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Bây giờ chúng ta có thể so sánh cả hai cường độ:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. Tôi M
Trận động đất ở Chile có cường độ gấp 63 lần trận động đất ở Mexico. Vì cường độ là logarit, nó phát triển chậm hơn cường độ, do đó, chênh lệch 1 độ lớn, có nghĩa là biên độ của sóng địa chấn lớn hơn 10 lần.
Sự khác biệt giữa cường độ của cả hai trận động đất là 1,8, do đó chúng ta có thể mong đợi sự khác biệt về cường độ gần 100 hơn là 10, như nó thực sự đã xảy ra.
Trên thực tế, nếu chênh lệch chính xác là 2, trận động đất ở Chile sẽ dữ dội hơn trận ở Mexico 100 lần.
Người giới thiệu
- Carena, M. 2019. Cẩm nang Toán học Dự bị Đại học. Đại học Quốc gia Litoral.
- Figuera, J. 2000. Toán học 1. Năm đa dạng. Ấn bản CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
- Larson, R. 2010. Tính toán một biến. Ngày 9. Phiên bản. Đồi McGraw.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Toán học Giải tích. ngày 5. Phiên bản. Học tập Cengage.