- Giải trình
- Trình diễn
- Nó dùng để làm gì?
- Bài tập đã giải
- Bài tập 1
- Giải pháp
- Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Các Bolzano lý khẳng định rằng nếu một chức năng là liên tục tại mọi điểm của một khoảng thời gian khép kín và được thỏa mãn rằng hình ảnh của "a" và "b" (theo chức năng) có dấu hiệu ngược lại, sau đó sẽ có ít nhất một điểm " c "trong khoảng mở (a, b), sao cho hàm được đánh giá trong" c "sẽ bằng 0.
Định lý này được nhà triết học, nhà thần học và nhà toán học Bernard Bolzano đưa ra vào năm 1850. Nhà khoa học này, sinh ra ở Cộng hòa Séc ngày nay, là một trong những nhà toán học đầu tiên trong lịch sử đưa ra bằng chứng chính thức về các tính chất của hàm liên tục.
Giải trình
Định lý Bolzano còn được gọi là định lý giá trị trung gian, giúp xác định các giá trị cụ thể, đặc biệt là số không, của một số hàm thực của một biến thực.
Trong một hàm đã cho, f (x) tiếp tục - nghĩa là f (a) và f (b) được nối với nhau bởi một đường cong-, trong đó f (a) nằm dưới trục x (nó là âm) và f (b) bởi phía trên trục x (nó là số dương), hoặc ngược lại, bằng đồ thị sẽ có một điểm cắt trên trục x sẽ đại diện cho một giá trị trung gian «c», sẽ nằm giữa «a» và «b», và giá trị của f (c) sẽ bằng 0.
Khi phân tích đồ thị định lý Bolzano, có thể thấy rằng với mọi hàm liên tục f xác định trên một khoảng, trong đó f (a) * f (b) nhỏ hơn 0, thì sẽ có ít nhất một gốc «c» của hàm đó trong của khoảng (a, b).
Định lý này không xác lập số điểm trong khoảng mở đó, nó chỉ nói rằng có ít nhất 1 điểm.
Trình diễn
Để chứng minh định lý Bolzano, giả sử không mất tính tổng quát rằng f (a) <0 và f (b)> 0; do đó, có thể có nhiều giá trị giữa "a" và "b" mà f (x) = 0, nhưng chỉ một giá trị cần được hiển thị.
Chúng ta bắt đầu bằng cách đánh giá f tại điểm giữa (a + b) / 2. Nếu f ((a + b) / 2) = 0 thì việc chứng minh kết thúc ở đây; ngược lại, thì f ((a + b) / 2) là dương hoặc âm.
Một trong các nửa của khoảng được chọn sao cho các dấu của hàm được đánh giá tại các điểm cực trị là khác nhau. Khoảng thời gian mới này sẽ là.
Bây giờ, nếu f được đánh giá tại điểm giữa của không bằng 0, thì thao tác tương tự như trước được thực hiện; nghĩa là, một nửa của khoảng này được chọn thỏa mãn điều kiện của các dấu hiệu. Hãy để đây là khoảng thời gian mới.
Nếu bạn tiếp tục quá trình này, thì bạn sẽ có hai chuỗi {an} và {bn}, sao cho:
{an} đang tăng và {bn} đang giảm:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Nếu bạn tính độ dài của mỗi khoảng, bạn sẽ phải:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Do đó, giới hạn khi n tiến đến vô cùng của (bn-an) bằng 0.
Sử dụng {an} đó đang tăng và bị giới hạn và {bn} đang giảm và bị giới hạn, chúng ta có một giá trị «c» sao cho:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Giới hạn của an là "c" và giới hạn của {bn} cũng là "c". Do đó, với> 0 bất kỳ, luôn tồn tại một "n" sao cho khoảng chứa trong khoảng (c-δ, c + δ).
Bây giờ, nó phải được chứng minh rằng f (c) = 0.
Nếu f (c)> 0 thì vì f liên tục nên tồn tại ε> 0 sao cho f khả vi trên toàn khoảng (c - ε, c + ε). Tuy nhiên, như đã đề cập ở trên, có một giá trị "n" sao cho f thay đổi dấu và, hơn nữa, được chứa trong (c - ε, c + ε), điều này là một mâu thuẫn.
Nếu f (c) <0 thì do f liên tục nên tồn tại ε> 0 sao cho f nghịch biến trong khoảng (c - ε, c + ε); nhưng tồn tại một giá trị "n" sao cho f thay đổi đăng nhập. Nó chỉ ra rằng nó được chứa bên trong (c - ε, c + ε), đó cũng là một mâu thuẫn.
Do đó, f (c) = 0 và đây là điều chúng tôi muốn chứng minh.
Nó dùng để làm gì?
Từ cách giải thích đồ họa của nó, định lý Bolzano được sử dụng để tìm các gốc hoặc số không trong một hàm liên tục, thông qua phép phân giác (xấp xỉ), là một phương pháp tìm kiếm gia tăng luôn chia các khoảng cho 2.
Sau đó, một khoảng được thực hiện hoặc ở nơi xảy ra sự thay đổi dấu hiệu, và quá trình này được lặp lại cho đến khi khoảng thời gian đó ngày càng nhỏ hơn, để có thể đạt đến giá trị mong muốn; nghĩa là, đến giá trị mà hàm tạo ra bằng 0.
Tóm lại, để áp dụng định lý Bolzano và do đó tìm nghiệm nguyên, giới hạn số 0 của một hàm số hoặc đưa ra nghiệm của một phương trình, các bước sau được thực hiện:
- Điều đó được kiểm chứng nếu f là hàm liên tục trên khoảng.
- Nếu khoảng không cho trước thì phải tìm ở đâu hàm số liên tục.
- Nó được xác minh nếu các cực trị của khoảng cho dấu hiệu ngược lại khi đánh giá trong f.
- Nếu không thu được các dấu hiệu trái ngược nhau, thì khoảng phải được chia thành hai khoảng con bằng cách sử dụng trung điểm.
- Đánh giá hàm tại điểm giữa và xác minh rằng giả thuyết Bolzano được thỏa mãn, trong đó f (a) * f (b) <0.
- Tùy thuộc vào dấu (dương hoặc âm) của giá trị tìm được, quá trình được lặp lại với một giá trị con mới cho đến khi giả thuyết nói trên được thỏa mãn.
Bài tập đã giải
Bài tập 1
Xác định hàm số f (x) = x 2 - 2, có ít nhất một nghiệm thực trong khoảng.
Giải pháp
Ta có hàm số f (x) = x 2 - 2. Vì là đa thức nên nó liên tục trong mọi khoảng.
Yêu cầu xác định xem nó có nghiệm thực trong khoảng hay không, vì vậy bây giờ chỉ cần thay các đầu của khoảng trong hàm để biết dấu của chúng và biết liệu chúng có thỏa mãn điều kiện khác nhau hay không:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (âm)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (dương)
Do đó, dấu của f (1) ≠ dấu f (2).
Điều này đảm bảo rằng có ít nhất một điểm "c" thuộc khoảng, trong đó f (c) = 0.
Trong trường hợp này, giá trị của "c" có thể dễ dàng được tính như sau:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Do đó, √2 ≈ 1,4 thuộc khoảng và thỏa mãn rằng f (√2) = 0.
Bài tập 2
Chứng tỏ rằng phương trình x 5 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm thực.
Giải pháp
Trước tiên, hãy lưu ý rằng f (x) = x 5 + x + 1 là một hàm đa thức, có nghĩa là nó liên tục trên mọi số thực.
Trong trường hợp này, không có khoảng nào được đưa ra, vì vậy các giá trị phải được chọn một cách trực quan, tốt nhất là gần bằng 0, để đánh giá hàm và tìm các thay đổi về dấu:
Nếu bạn sử dụng khoảng thời gian, bạn phải:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Vì không có dấu hiệu thay đổi, quá trình được lặp lại với một khoảng thời gian khác.
Nếu bạn sử dụng khoảng thời gian, bạn phải:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
Trong khoảng này có sự đổi dấu: dấu của f (-1) ≠ dấu của f (0), nghĩa là hàm số f (x) = x 5 + x + 1 có ít nhất một căn thực «c» trong khoảng sao cho f (c) = 0. Nói cách khác, x 5 + x + 1 = 0 có nghiệm thực trong khoảng.
Người giới thiệu
- Bronshtein I, SK (1988). Sách hướng dẫn Toán học cho Kỹ sư và Sinh viên. . Biên tập MIR.
- George, A. (1994). Toán học và Trí óc. Nhà xuất bản Đại học Oxford.
- Ilín V, PE (1991). Phân tích toán học. Trong ba tập. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Giáo viên Sư phạm Trung học. Tập II. ĐIÊN.
- Mateos, ML (2013). Các thuộc tính cơ bản của phân tích trong R. Editores, ngày 20 tháng 12.
- Piskunov, N. (1980). Phép tính vi phân và tích phân. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Toán phân tích kinh tế. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Đối xứng Liên tục: Từ Euclid đến Klein. Toán học Mỹ Sóc.