PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ: ĐẶC ĐIỂM, CÁC BƯỚC, VÍ DỤ - TỪ VỰNG VĂN HÓA - 2026

Các phương pháp tiên đề hay còn gọi là Axiomatics là một thủ tục chính thức được sử dụng bởi các ngành khoa học bằng phương tiện trong đó tuyên bố hoặc mệnh đề được gọi là tiên đề được xây dựng, kết nối với nhau bằng một mối quan hệ giữa khấu trừ và không có nhiều cơ sở các giả thuyết hoặc điều kiện của một hệ thống nhất định.

Định nghĩa chung này phải được đóng khung trong quá trình phát triển mà phương pháp luận này đã có trong suốt lịch sử. Trước hết, có một phương pháp nội dung hoặc cổ đại, ra đời ở Hy Lạp cổ đại từ Euclid và sau đó được phát triển bởi Aristotle.

Thứ hai, ngay từ thế kỷ 19, sự xuất hiện của hình học với tiên đề khác với tiên đề của Euclid. Và cuối cùng, phương pháp tiên đề chính thức hoặc hiện đại, có số mũ lớn nhất là David Hilbert.

Ngoài sự phát triển của nó theo thời gian, thủ tục này là cơ sở của phương pháp suy diễn, được sử dụng trong hình học và logic nơi nó bắt nguồn. Nó cũng đã được sử dụng trong vật lý, hóa học và sinh học.

Và nó thậm chí đã được áp dụng trong khoa học pháp lý, xã hội học và kinh tế chính trị. Tuy nhiên, hiện nay lĩnh vực ứng dụng quan trọng nhất của nó là toán học và logic biểu tượng và một số ngành vật lý như nhiệt động lực học, cơ học, trong số các ngành khác.

nét đặc trưng

Mặc dù đặc điểm cơ bản của phương pháp này là xây dựng các tiên đề, nhưng chúng không phải lúc nào cũng được xem xét theo cùng một cách.

Có một số có thể được định nghĩa và xây dựng theo một cách tùy ý. Và những người khác, theo một mô hình trong đó sự thật được đảm bảo của nó được xem xét bằng trực giác.

Để hiểu cụ thể sự khác biệt này và hậu quả của nó bao gồm những gì, cần phải đi qua sự phát triển của phương pháp này.

Phương pháp tiên đề cổ đại hoặc nội dung

Nó là một trong những được thành lập ở Hy Lạp cổ đại vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên Lĩnh vực ứng dụng của nó là hình học. Công trình cơ bản của giai đoạn này là Các yếu tố của Euclid, mặc dù người ta cho rằng trước ông, Pythagoras, đã khai sinh ra phương pháp tiên đề.

Vì vậy, người Hy Lạp coi một số dữ kiện nhất định làm tiên đề, mà không cần bất kỳ chứng minh logic nào, tức là không cần chứng minh, vì đối với họ, chúng là một chân lý tự hiển nhiên.

Về phần mình, Euclid trình bày năm tiên đề cho hình học:

1-Cho hai điểm có một đoạn thẳng chứa hoặc nối chúng.

2-Bất kỳ đoạn nào có thể được kéo dài liên tục theo một đường không giới hạn ở cả hai phía.

3-Bạn có thể vẽ một đường tròn có tâm tại bất kỳ điểm nào và bán kính nào.

4-Các góc vuông đều bằng nhau.

5-Lấy một đoạn thẳng bất kỳ và một điểm bất kỳ không nằm trong nó thì có một đường thẳng song song với nó và chứa điểm đó. Tiên đề này, về sau, được biết đến như là tiên đề về song song và cũng đã được phát biểu như: một song song có thể được vẽ từ một điểm bên ngoài một đường thẳng.

Tuy nhiên, cả Euclid và các nhà toán học sau này đều đồng ý rằng tiên đề thứ năm không rõ ràng về mặt trực giác như tiên đề thứ 4. Ngay cả trong thời kỳ Phục hưng, người ta đã cố gắng suy ra tiên đề thứ năm từ tiên đề thứ năm, nhưng nó không thể thực hiện được.

Điều này làm cho đến thế kỷ XIX, những người duy trì năm ủng hộ hình học Euclid và những người phủ nhận hình học thứ năm, là những người đã tạo ra hình học phi Euclid.

Phương pháp tiên đề phi Euclide

Chính Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai và Johann Karl Friedrich Gauss là những người nhìn thấy khả năng xây dựng, không mâu thuẫn, một hình học đến từ các hệ tiên đề khác với hệ tiên đề của Euclid. Điều này phá hủy niềm tin vào chân lý tuyệt đối hoặc tiên nghiệm của các tiên đề và các lý thuyết xuất phát từ chúng.

Do đó, tiên đề bắt đầu được coi là điểm khởi đầu cho một lý thuyết nhất định. Ngoài ra, cả sự lựa chọn của ông và vấn đề về tính hợp lệ của nó theo nghĩa này hay cách khác, đều bắt đầu liên quan đến các dữ kiện bên ngoài lý thuyết tiên đề.

Bằng cách này, các lý thuyết hình học, đại số và số học xuất hiện được xây dựng bằng phương pháp tiên đề.

Giai đoạn này đạt đến đỉnh cao trong việc tạo ra các hệ tiên đề cho số học như của Giuseppe Peano vào năm 1891; Hình học của David Hubert năm 1899; các phát biểu và phép tính vị từ của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell, ở Anh năm 1910; Lý thuyết tiên đề về tập hợp của Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo năm 1908.

Phương pháp tiên đề hình thức hoặc hiện đại

Chính David Hubert là người khởi xướng quan niệm về một phương pháp tiên đề hình thức và dẫn đến đỉnh cao của nó, David Hilbert.

Chính Hilbert là người chính thức hóa ngôn ngữ khoa học, coi những phát biểu của nó như những công thức hay chuỗi các dấu hiệu tự nó không có ý nghĩa. Chúng chỉ đạt được ý nghĩa trong một cách hiểu nhất định.

Trong "Cơ sở của hình học", ông giải thích ví dụ đầu tiên của phương pháp luận này. Kể từ đây, hình học trở thành một môn khoa học về các hệ quả logic thuần túy, được rút ra từ một hệ thống các giả thuyết hoặc tiên đề, được giải thích rõ ràng hơn so với hệ thống Euclide.

Điều này là do trong hệ thống cổ đại, lý thuyết tiên đề dựa trên bằng chứng của các tiên đề. Trong khi ở nền tảng của lý thuyết hình thức, nó được đưa ra bằng cách chứng minh tính không mâu thuẫn của các tiên đề của nó.

Các bước

Quy trình thực hiện một cấu trúc tiên đề trong các lý thuyết khoa học thừa nhận:

a-sự lựa chọn của một số tiên đề nhất định, tức là, một số mệnh đề của một lý thuyết nhất định được chấp nhận mà không cần phải chứng minh.

b-các khái niệm là một phần của các mệnh đề này không được xác định trong khuôn khổ của lý thuyết đã cho.

c-các quy tắc định nghĩa và suy diễn của lý thuyết đã cho được thiết lập và cho phép đưa ra các khái niệm mới trong lý thuyết và suy luận một cách logic một số mệnh đề từ những mệnh đề khác.

d-các mệnh đề khác của lý thuyết, tức là, định lý, được suy ra từ a trên cơ sở c.

Ví dụ

Phương pháp này có thể được kiểm chứng thông qua việc chứng minh hai định lý Euclid được biết đến nhiều nhất: định lý chân và định lý chiều cao.

Cả hai đều phát sinh từ quan sát của máy đo địa lý Hy Lạp này rằng khi chiều cao tương ứng với cạnh huyền được vẽ trong một tam giác vuông, hai tam giác nữa của hình ban đầu sẽ xuất hiện. Các tam giác này đồng dạng với nhau đồng thời đồng dạng với tam giác đồng dạng. Điều này giả định rằng các mặt tương đồng tương ứng của chúng là tỷ lệ thuận.

Có thể thấy rằng các góc đồng dư trong các tam giác theo cách này xác minh sự đồng dạng tồn tại giữa ba tam giác có liên quan theo tiêu chí tương tự AAA. Tiêu chí này cho rằng khi hai tam giác có tất cả các góc bằng nhau thì chúng đồng dạng.

Sau khi chứng minh được rằng các tam giác là đồng dạng, các tỷ lệ được chỉ định trong định lý đầu tiên có thể được thiết lập. Phát biểu tương tự rằng trong một tam giác vuông, số đo của mỗi chân là trung bình tỷ lệ hình học giữa cạnh huyền và hình chiếu của chân trên đó.

Định lý thứ hai là định lý về chiều cao. Nó chỉ rõ rằng bất kỳ tam giác vuông nào có chiều cao được vẽ theo cạnh huyền là trung bình tỷ lệ hình học giữa các đoạn được xác định bởi trung bình hình học trên cạnh huyền.

Tất nhiên, cả hai định lý đều có rất nhiều ứng dụng trên khắp thế giới không chỉ trong giảng dạy mà còn trong kỹ thuật, vật lý, hóa học và thiên văn học.

Người giới thiệu

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Hình học, chủ nghĩa hình thức và trực giác: David Hilbert và phương pháp tiên đề hình thức (1895-1905). Tạp chí Triết học, Tập 39 số 2, tr.121-146. Lấy từ Magazine.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Tiên đề tư tưởng. Trong W. Ewald, chủ biên, từ Kant đến Hilbert: một cuốn sách nguồn về nền tảng của toán học. Tập II, trang 1105-1114. Nhà xuất bản Đại học Oxford. Năm 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Phương pháp tiên đề là gì? Tổng hợp, tháng 11 năm 2011, tập 189, tr.69-85. Lấy từ link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Giới thiệu về Triết học Luật đương đại. (tr.48-49). Lấy từ books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Phương pháp tiên đề, một bài đọc của Ricardo Nirenberg, Fall 1996, University at Albany, Project Renaissance. Lấy từ Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert giữa mặt chính thức và không chính thức của Toán học. Bản thảo tập. 38 không. 2, Campinas July / Augusto 2015. Lấy từ scielo.br.