- Lịch sử
- Số e có giá trị là bao nhiêu?
- Biểu diễn của số e
- Số e là một giới hạn
- Số e dưới dạng tổng
- Số e theo quan điểm hình học
- Tính chất của số e
- Các ứng dụng
- Số liệu thống kê
- Kỹ thuật
- sinh học
- Vật lý
- Nên kinh tê
- Người giới thiệu
Số Euler hay số e là một hằng số toán học nổi tiếng xuất hiện thường xuyên trong nhiều ứng dụng khoa học và kinh tế, cùng với số π và các số quan trọng khác trong toán học.
Máy tính khoa học trả về giá trị sau cho số e:
Hình 1. Số Euler xuất hiện thường xuyên trong Science. Nguồn: F. Zapata.
e = 2,718281828 …
Nhưng nhiều số thập phân hơn được biết đến, ví dụ:
e = 2.71828182845904523536…
Và máy tính hiện đại đã tìm ra hàng nghìn tỷ chữ số thập phân cho số e.
Nó là một số vô tỉ, nghĩa là nó có vô số chữ số thập phân mà không có mẫu lặp nào (dãy số 1828 xuất hiện hai lần ở đầu và không còn lặp lại nữa).
Và điều đó cũng có nghĩa là số e không thể nhận được là thương của hai số nguyên.
Lịch sử
Số e được xác định bởi nhà khoa học Jacques Bernoulli vào năm 1683 khi ông đang nghiên cứu vấn đề lãi kép, nhưng trước đó nó đã xuất hiện gián tiếp trong các công trình của nhà toán học Scotland John Napier, người đã phát minh ra logarit vào khoảng năm 1618.
Tuy nhiên, chính Leonhard Euler vào năm 1727 đã đặt cho nó cái tên là e và nghiên cứu kỹ lưỡng các tính chất của nó. Đây là lý do tại sao nó còn được gọi là số Euler và cũng là cơ số tự nhiên cho logarit tự nhiên (một số mũ) hiện đang được sử dụng.
Số e có giá trị là bao nhiêu?
Số e có giá trị là:
e = 2.71828182845904523536…
Dấu chấm lửng có nghĩa là có vô số chữ số thập phân và trên thực tế, với máy tính ngày nay, hàng triệu chữ số đó đã được biết đến.
Biểu diễn của số e
Có một số cách để xác định e mà chúng tôi mô tả dưới đây:
Số e là một giới hạn
Một trong những cách khác nhau để biểu thị số e là cách mà nhà khoa học Bernoulli tìm thấy trong các công trình của ông về lãi kép:
Trong đó bạn phải làm cho giá trị n là một số rất lớn.
Dễ dàng kiểm tra, với sự trợ giúp của máy tính, rằng khi n rất lớn, biểu thức trước đó có xu hướng đến giá trị của e đã cho ở trên.
Tất nhiên chúng ta có thể tự hỏi mình có thể tạo ra n lớn đến mức nào, vì vậy hãy thử các số làm tròn, chẳng hạn như sau:
n = 1000; 10.000 hoặc 100.000
Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thu được e = 2,7169239…. Trong cái thứ hai e = 2,7181459… và trong cái thứ ba nó gần hơn nhiều với giá trị của e: 2,7182682. Chúng ta đã có thể tưởng tượng rằng với n = 1.000.000 hoặc lớn hơn, ước tính gần đúng sẽ tốt hơn.
Trong ngôn ngữ toán học, quy trình làm cho n càng ngày càng gần đến một giá trị rất lớn được gọi là giới hạn đến vô cùng và được biểu thị như sau:
Để biểu thị vô cực, ký hiệu "∞" được sử dụng.
Số e dưới dạng tổng
Cũng có thể xác định số e thông qua phép toán này:
Các số xuất hiện ở mẫu số: 1, 2, 6, 24, 120… tương ứng với phép toán n !, trong đó:
Và theo định nghĩa 0! = 1.
Có thể dễ dàng kiểm tra rằng càng thêm nhiều quảng cáo, số e càng đạt được chính xác.
Hãy thực hiện một số bài kiểm tra với máy tính, thêm ngày càng nhiều phụ đề:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Càng thêm nhiều số hạng vào tổng, kết quả càng giống e.
Các nhà toán học đã nghĩ ra một ký hiệu nhỏ gọn cho các tổng liên quan đến nhiều số hạng này, sử dụng ký hiệu tổng Σ:
Biểu thức này được đọc như thế này "tổng từ n = 0 đến vô cùng của 1 giữa n giai thừa".
Số e theo quan điểm hình học
Số e có dạng biểu diễn đồ họa liên quan đến diện tích dưới đồ thị của đường cong:
y = 1 / x
Khi các giá trị của x nằm trong khoảng từ 1 đến e, diện tích này bằng 1, như minh họa trong hình sau:
Hình 2. Biểu diễn đồ họa của số e: diện tích dưới đường cong 1 / x, giữa x = 1 và x = e có giá trị là 1. Nguồn: F. Zapata.
Tính chất của số e
Một số tính chất của số e là:
- Nó là vô tỉ, nói cách khác, nó không thể có được một cách đơn giản bằng cách chia hai số nguyên.
- Số e cũng là một số siêu việt, có nghĩa là e không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào.
-Nó liên quan đến bốn số nổi tiếng khác trong lĩnh vực toán học, đó là: π, i, 1 và 0, thông qua danh tính Euler:
-Các số phức được gọi là có thể được biểu diễn thông qua e.
-Nó tạo thành cơ sở của logarit tự nhiên hoặc tự nhiên của thời điểm hiện tại (định nghĩa ban đầu của John Napier khác một chút).
- Đó là số duy nhất sao cho lôgarit tự nhiên của nó bằng 1, nghĩa là:
Các ứng dụng
Số liệu thống kê
Số e xuất hiện rất thường xuyên trong lĩnh vực xác suất và thống kê, xuất hiện trong các phân phối khác nhau, chẳng hạn như bình thường hoặc Gaussian, Poisson và những người khác.
Kỹ thuật
Trong kỹ thuật, điều đó là thường xuyên, vì hàm mũ y = e x có trong cơ học và điện từ học, chẳng hạn. Trong số rất nhiều ứng dụng có thể kể đến:
-Một dây cáp hoặc dây xích được treo ở các đầu, có hình dạng của đường cong do:
y = (e x + e -x ) / 2
- Một tụ điện C phóng điện ban đầu, mắc nối tiếp với điện trở R và nguồn điện có hiệu điện thế V để tích điện thì thu được điện tích Q nhất định theo hàm của thời gian t cho bởi:
Q (t) = CV (1-e -t / RC )
sinh học
Hàm mũ y = Ae Bx , với A và B không đổi, được sử dụng để lập mô hình sự phát triển của tế bào và sự phát triển của vi khuẩn.
Vật lý
Trong vật lý hạt nhân, phân rã phóng xạ và xác định tuổi được mô hình hóa bằng cách xác định niên đại cacbon phóng xạ.
Nên kinh tê
Trong phép tính lãi kép, số e phát sinh tự nhiên.
Giả sử rằng bạn có một số tiền P o nhất định để đầu tư với lãi suất i% năm.
Nếu bạn để tiền trong 1 năm, sau thời gian đó bạn sẽ có:
Sau một năm nữa mà không chạm vào nó, bạn sẽ có:
Và tiếp tục theo cách này trong n năm:
Bây giờ chúng ta hãy nhớ một trong những định nghĩa của e:
Nó trông hơi giống biểu thức của P, vì vậy phải có một mối quan hệ.
Chúng tôi sẽ phân phối lãi suất danh nghĩa i trong n khoảng thời gian, theo cách này, lãi suất kép sẽ là i / n:
Biểu thức này trông giống với giới hạn của chúng ta hơn một chút, nhưng nó vẫn không hoàn toàn giống nhau.
Tuy nhiên, sau một số thao tác đại số, có thể chỉ ra rằng bằng cách thực hiện thay đổi biến này:
Tiền P của chúng ta trở thành:
Và những gì ở giữa các dấu ngoặc nhọn, ngay cả khi nó được viết bằng chữ h, bằng đối số của giới hạn xác định số e, chỉ thiếu giới hạn.
Hãy làm cho h → ∞, và những gì ở giữa các dấu ngoặc nhọn trở thành số e. Điều này không có nghĩa là chúng ta phải đợi một thời gian dài để rút tiền.
Nếu chúng ta xem xét kỹ hơn, bằng cách đặt h = n / i và hướng đến ∞, những gì chúng ta đã thực sự làm là phân bổ lãi suất trong một khoảng thời gian rất, rất nhỏ:
i = n / h
Đây được gọi là lãi kép liên tục. Trong trường hợp này, số tiền dễ dàng được tính như thế này:
Trong đó tôi là lãi suất hàng năm. Ví dụ: khi gửi € 12 ở mức 9% mỗi năm, thông qua vốn hóa liên tục, sau một năm, bạn có:
Với lợi nhuận là € 1,13.
Người giới thiệu
- Thích toán học. Lãi gộp: Thành phần định kỳ. Phục hồi từ: enjoylasmatematicas.com.
- Figuera, J. 2000. Toán học 1. Đa dạng. Ấn bản CO-BO.
- García, M. Số e trong phép tính cơ bản. Đã khôi phục từ: matematica.ciens.ucv.ve.
- Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
- Larson, R. 2010. Tính toán một biến. Ngày 9. Phiên bản. Đồi McGraw.