BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC: THUỘC TÍNH, ỨNG DỤNG, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2026

Các rời rạc biến đổi Fourier là một phương pháp số dùng để xác định các mẫu đề cập đến các tần số quang phổ tạo nên một tín hiệu. Nó nghiên cứu các hàm tuần hoàn trong các tham số đóng, do đó tạo ra một tín hiệu rời rạc khác.

Để có được phép biến đổi Fourier rời rạc của N điểm, trên tín hiệu rời rạc, phải thỏa mãn 2 điều kiện sau trên một chuỗi x

TDF

Phép biến đổi Fourier rời rạc có thể được định nghĩa là phép lấy mẫu điểm N của phép biến đổi Fourier.

Giải thích biến đổi Fourier rời rạc

Nguồn: Pexels

Có 2 quan điểm mà từ đó các kết quả thu được trên một chuỗi x _s có thể được giải thích thông qua phép biến đổi Fourier rời rạc.

-Đầu tiên tương ứng với các hệ số phổ, đã được biết đến từ chuỗi Fourier. Nó được quan sát trong các tín hiệu tuần hoàn rời rạc, với các mẫu trùng với chuỗi x _s .

- Thứ hai đề cập đến phổ của một tín hiệu không theo chu kỳ rời rạc, với các mẫu tương ứng với chuỗi x _s .

Biến đổi rời rạc là một phép gần đúng với phổ của tín hiệu tương tự ban đầu. Pha của nó phụ thuộc vào các trường hợp lấy mẫu, trong khi độ lớn của nó phụ thuộc vào khoảng thời gian lấy mẫu.

Tính chất

Cơ sở đại số của cấu trúc tạo nên cơ sở lý luận cho các phần sau.

Tuyến tính

C. S _n → C. F; Nếu một dãy được nhân với một đại lượng vô hướng, thì biến đổi của nó cũng sẽ là.

T _n + V _n = F + F; Phép biến đổi của một tổng bằng tổng của các phép biến đổi.

Tính hai mặt

F → (1 / N) S _-k; Nếu phép biến đổi Fourier rời rạc được tính toán lại thành một biểu thức đã được biến đổi, biểu thức tương tự sẽ nhận được, được chia tỷ lệ theo N và đảo ngược đối với trục tung.

Convolution

Theo đuổi các mục tiêu tương tự như trong phép biến đổi Laplace, tích chập của các hàm đề cập đến tích giữa các phép biến đổi Fourier của chúng. Convolution cũng áp dụng cho thời gian rời rạc và chịu trách nhiệm cho nhiều thủ tục hiện đại.

X _n * R _n → F .F; Biến đổi của một tích chập bằng tích của các phép biến đổi.

X _n . R _n → F * F; Phép biến đổi của một tích bằng tích của các phép biến đổi.

Dịch chuyển

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Nếu một chuỗi bị trễ m mẫu, thì ảnh hưởng của nó đối với phép biến đổi rời rạc sẽ là một sự thay đổi góc được xác định bởi (2π / N) km.

Đối diện

X _t = X * _t = X _t

Điều chế

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Sản phẩm

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Đối diện

X ↔ X _t = X * _t

Liên hợp

x * ↔ X * _t

Phương trình phân tích cú pháp

Đối với phép biến đổi Fourier thông thường, nó có một số điểm giống và khác nhau. Phép biến đổi Fourier chuyển một chuỗi thành một đường liền nét. Theo cách này, người ta nói rằng kết quả của biến Fourier là một hàm phức của một biến thực.

Không giống như phép biến đổi Fourier rời rạc, nhận một tín hiệu rời rạc và biến nó thành một tín hiệu rời rạc khác, tức là một chuỗi.

Biến đổi Fourier rời rạc để làm gì?

Chúng phục vụ chủ yếu để đơn giản hóa đáng kể các phương trình, đồng thời biến đổi các biểu thức dẫn xuất thành các phần tử lũy thừa. Biểu thức vi phân ở dạng đa thức tích phân.

Trong việc tối ưu hóa, điều chế và mô hình hóa kết quả, nó hoạt động như một biểu thức được tiêu chuẩn hóa, là nguồn lực thường xuyên cho kỹ thuật sau nhiều thế hệ.

Nguồn: pixabay

Lịch sử

Khái niệm toán học này được đưa ra bởi Joseph B. Fourier vào năm 1811, trong khi phát triển một luận thuyết về sự truyền nhiệt. Nó nhanh chóng được nhiều ngành khoa học và kỹ thuật áp dụng.

Nó được thiết lập như một công cụ làm việc chính trong việc nghiên cứu các phương trình với đạo hàm riêng, thậm chí so sánh nó với mối quan hệ công việc hiện có giữa phép biến đổi Laplace và các phương trình vi phân thông thường.

Mọi hàm có thể hoạt động với biến đổi Fourier phải hiển thị null bên ngoài một tham số xác định.

Biến đổi Fourier rời rạc và nghịch đảo của nó

Biến đổi rời rạc thu được thông qua biểu thức:

Sau khi cho một dãy rời rạc X

Nghịch đảo của biến đổi Fourier rời rạc được xác định thông qua biểu thức:

Đảo ngược PTO

Sau khi thực hiện được phép biến đổi rời rạc, nó cho phép xác định trình tự trong miền thời gian X.

Có cánh

Quá trình tham số hóa tương ứng với biến đổi Fourier rời rạc nằm trong cửa sổ. Để làm việc biến đổi, chúng ta phải giới hạn trình tự trong thời gian. Trong nhiều trường hợp, các tín hiệu được đề cập không có những hạn chế này.

Một chuỗi không đáp ứng tiêu chí kích thước để áp dụng cho phép biến đổi rời rạc có thể được nhân với hàm "cửa sổ" V, xác định hành vi của chuỗi trong một tham số được kiểm soát.

X. V

Độ rộng của quang phổ sẽ phụ thuộc vào độ rộng của cửa sổ. Khi chiều rộng của cửa sổ tăng lên, biến đổi được tính toán sẽ hẹp hơn.

Các ứng dụng

Tính toán giải pháp cơ bản

Phép biến đổi Fourier rời rạc là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu các chuỗi rời rạc.

Phép biến đổi Fourier rời rạc biến một hàm biến liên tục thành một phép biến đổi rời rạc.

Bài toán Cauchy cho phương trình nhiệt trình bày một trường áp dụng thường xuyên của phép biến đổi Fourier rời rạc . Nơi tạo ra chức năng cốt lõi của nhiệt hoặc lõi Dirichlet, áp dụng cho các giá trị lấy mẫu trong một thông số xác định.

Lý thuyết tín hiệu

Lý do chung cho việc áp dụng phép biến đổi Fourier rời rạc trong nhánh này chủ yếu là do sự phân rã đặc trưng của một tín hiệu như là một chồng chất vô hạn của các tín hiệu dễ điều trị hơn.

Nó có thể là sóng âm thanh hoặc sóng điện từ, phép biến đổi Fourier rời rạc thể hiện nó dưới dạng chồng chất của các sóng đơn giản. Biểu diễn này khá thường xuyên trong kỹ thuật điện.

Chuỗi Fourier

Chúng là các chuỗi được định nghĩa theo Cosines và Sines. Chúng phục vụ để tạo thuận lợi cho công việc với các chức năng định kỳ chung. Khi áp dụng, chúng là một phần của kỹ thuật giải các phương trình vi phân thông thường và riêng.

Chuỗi Fourier thậm chí còn tổng quát hơn chuỗi Taylor, vì chúng phát triển các hàm không liên tục tuần hoàn không có biểu diễn chuỗi Taylor.

Các dạng khác của chuỗi Fourier

Để hiểu biến đổi Fourier một cách phân tích, điều quan trọng là phải xem lại các cách khác mà trong đó chuỗi Fourier có thể được tìm thấy, cho đến khi chúng ta có thể xác định chuỗi Fourier trong ký hiệu phức tạp của nó.

-Dãy Fourier trên một hàm của chu kỳ 2L:

Khoảng được coi là cung cấp lợi thế khi tận dụng các đặc điểm đối xứng của các hàm.

Nếu f chẵn, chuỗi Fourier được thiết lập như một chuỗi Cosin.

Nếu f lẻ, chuỗi Fourier được thiết lập như một chuỗi các Sines.

-Ký hiệu đơn giản của chuỗi Fourier

Nếu chúng ta có một hàm f (t), đáp ứng tất cả các yêu cầu của chuỗi Fourier, thì có thể biểu thị nó trong khoảng bằng cách sử dụng ký hiệu phức tạp của nó:

Ví dụ

Về tính toán của giải pháp cơ bản, các ví dụ sau được trình bày:

Mặt khác, sau đây là các ví dụ về ứng dụng của phép biến đổi Fourier rời rạc trong lĩnh vực lý thuyết tín hiệu:

-Các vấn đề nhận dạng hệ thống. Thành lập f và g

-Vấn đề về tính nhất quán của tín hiệu đầu ra

-Các vấn đề với lọc tín hiệu

Bài tập

Bài tập 1

Tính phép biến đổi Fourier rời rạc cho dãy sau.

Bạn có thể xác định PTO của x là:

X _t = {4, -j2, 0, j2} cho k = 0, 1, 2, 3

Bài tập 2

Chúng ta muốn xác định tín hiệu phổ được xác định bởi biểu thức x (t) = e ^-t thông qua một thuật toán số . Trong đó hệ số yêu cầu tần số lớn nhất là f _m = 1Hz. Một sóng hài tương ứng với f = 0,3 Hz, sai số được giới hạn dưới 5%. Tính f _s , D và N.

Có tính đến định lý lấy mẫu f _s = 2f _m = 2 Hz

Chọn độ phân giải tần số f ₀ = 0,1 Hz, từ đó ta thu được D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz là tần số tương ứng với chỉ số k = 3, trong đó N = 3 × 8 = 24 mẫu. Cho biết f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Vì mục đích là để đạt được giá trị N thấp nhất có thể, các giá trị sau có thể được coi là một giải pháp:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 giây

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Người giới thiệu

1. Làm chủ Biến đổi Fourier Rời rạc trong Một, Hai hoặc Một số Kích thước: Cạm bẫy và Đồ tạo tác. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, ngày 19 tháng 7. 2013
2. DFT: Hướng dẫn sử dụng cho chủ sở hữu về Biến đổi Fourier rời rạc. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, ngày 1 tháng 1. 1995
3. Xử lý tín hiệu kỹ thuật số: Lý thuyết và Thực hành. D. Sundararajan. Khoa học Thế giới, 2003
4. Biến đổi và thuật toán nhanh để phân tích và biểu diễn tín hiệu. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, ngày 6 tháng 12. 2012
5. Biến đổi Fourier rời rạc và liên tục: Phân tích, Ứng dụng và Thuật toán nhanh. Eleanor Chu. CRC Press, ngày 19 tháng 3. 2008