TAM GIÁC VÔ HƯỚNG: ĐẶC ĐIỂM, CÔNG THỨC VÀ DIỆN TÍCH, CÁCH TÍNH - TOÁN HỌC - 2025

Một cạnh không đều tam giác là một đa giác với ba mặt, tất cả đều có biện pháp hoặc độ dài khác nhau; vì lý do đó nó được đặt tên là scalene, trong tiếng Latinh có nghĩa là leo.

Hình tam giác là hình đa giác được coi là đơn giản nhất trong hình học, vì chúng được tạo thành từ ba cạnh, ba góc và ba đỉnh. Trong trường hợp của tam giác vô hướng, bằng cách có tất cả các cạnh khác nhau, điều đó ngụ ý rằng ba góc của nó cũng sẽ bằng nhau.

Đặc điểm của tam giác vô hướng

Tam giác Scalene là những đa giác đơn giản vì không có cạnh hoặc góc nào của chúng có cùng số đo, không giống như tam giác cân và tam giác đều.

Vì tất cả các cạnh và góc của chúng có các số đo khác nhau nên các tam giác này được coi là đa giác lồi không đều.

Dựa vào biên độ của các góc trong, tam giác vô hướng được phân loại thành:

• Tam giác vuông Scalene : tất cả các cạnh đều khác nhau. Một trong các góc của nó là bên phải (90 ^hoặc ) và các góc còn lại thì sắc với các thước đo khác nhau.
• Tam giác vô hướng bắt buộc : tất cả các cạnh đều khác nhau và một trong các góc của nó là góc tù (> 90 ^hoặc ).
• Tam giác nhọn Scalene : tất cả các cạnh đều khác nhau. Tất cả các góc đều là góc nhọn (<90 ^hoặc ) với các số đo khác nhau.

Một đặc điểm khác của tam giác vô hướng là do các cạnh và góc không hợp nhau nên chúng không có trục đối xứng.

Các thành phần

Trung tuyến : là đoạn thẳng bắt đầu từ trung điểm của một cạnh và đến đỉnh đối diện. Ba trung tuyến gặp nhau tại một điểm được gọi là trung tâm hoặc trung tâm.

Tia phân giác : là tia chia mỗi góc thành hai góc có số đo bằng nhau. Các đường phân giác của một tam giác gặp nhau tại một điểm được gọi là tâm.

Đường phân giác : là đoạn vuông góc với cạnh của tam giác, có gốc tọa độ ở giữa. Có ba đường phân giác trong một tam giác và chúng gặp nhau tại một điểm được gọi là đường tròn.

Chiều cao : là đường thẳng đi từ đỉnh tới cạnh đối diện và đường thẳng này cũng vuông góc với mặt đó. Tất cả các tam giác có ba chiều cao trùng nhau tại một điểm được gọi là trực tâm.

Tính chất

Các tam giác Scalene được định nghĩa hoặc nhận dạng bởi vì chúng có một số thuộc tính đại diện cho chúng, bắt nguồn từ các định lý do các nhà toán học vĩ đại đề xuất. Họ đang:

Các góc bên trong

Tổng các góc trong luôn bằng 180 ^° .

Tổng các bên

Tổng số đo của hai vế phải luôn lớn hơn số đo của vế thứ ba, a + b> c.

Các mặt bất hợp lý

Tất cả các cạnh của tam giác vô hướng có các số đo hoặc độ dài khác nhau; tức là, chúng không hợp nhau.

Góc không hợp lý

Vì tất cả các cạnh của tam giác vô hướng đều khác nhau nên các góc của nó cũng sẽ bằng nhau. Tuy nhiên, tổng các góc trong sẽ luôn bằng 180º, và trong một số trường hợp, một trong các góc của nó có thể là góc tù hoặc vuông, trong khi trong những trường hợp khác, tất cả các góc của nó sẽ là góc nhọn.

Chiều cao, đường trung bình, đường phân giác và đường phân giác không trùng nhau

Giống như bất kỳ tam giác nào, vô hướng có các đoạn thẳng khác nhau tạo nên nó, chẳng hạn như: chiều cao, đường trung bình, đường phân giác và đường phân giác.

Do tính đặc biệt của các cạnh của nó, trong loại tam giác này, không có đường nào trong số các đường này trùng với một.

Trung tâm, trung tâm, trung tâm và chu vi không phải là ngẫu nhiên

Vì chiều cao, đường trung bình, đường phân giác và đường phân giác được biểu diễn bằng các đoạn thẳng khác nhau, trong một tam giác vô hướng, các điểm gặp nhau - trực tâm, tâm và đường tròn - sẽ được tìm thấy tại các điểm khác nhau (chúng không trùng nhau).

Tùy thuộc vào việc tam giác là nhọn, phải hay rộng, trực tâm có các vị trí khác nhau:

đến. Nếu tam giác nhọn, trực tâm sẽ nằm bên trong tam giác.

b. Nếu tam giác vuông, trực tâm sẽ trùng với đỉnh của cạnh bên phải.

c. Nếu tam giác tù, trực tâm sẽ nằm bên ngoài của tam giác.

Chiều cao tương đối

Chiều cao tương đối so với các bên.

Trong trường hợp của tam giác vô hướng, các chiều cao này sẽ có các số đo khác nhau. Mọi tam giác đều có ba chiều cao tương đối và công thức Heron được sử dụng để tính chúng.

Làm thế nào để tính chu vi?

Chu vi của một đa giác được tính bằng cách cộng các cạnh.

Vì trong trường hợp này, tam giác vô hướng có tất cả các cạnh bằng các số đo khác nhau nên chu vi của nó sẽ là:

P = bên a + bên b + bên c.

Làm thế nào để tính diện tích?

Diện tích của hình tam giác luôn được tính theo cùng một công thức, nhân chiều cao với chiều cao và chia cho hai:

Diện tích = (cơ sở _* h) ÷ 2

Trong một số trường hợp người ta không biết chiều cao của tam giác vô hướng, nhưng có một công thức đã được nhà toán học Herón đề xuất, để tính diện tích khi biết số đo ba cạnh của một tam giác.

Ở đâu:

• a, b và c, biểu diễn các cạnh của tam giác.
• sp, tương ứng với nửa chu vi của tam giác, tức là nửa chu vi:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Trong trường hợp chúng ta chỉ có số đo hai cạnh của tam giác và góc tạo thành giữa chúng, thì diện tích có thể được tính bằng cách áp dụng các tỷ số lượng giác. Vì vậy, bạn phải:

Diện tích = (cạnh _* h) ÷ 2

Trong đó chiều cao (h) là tích của một cạnh và sin của góc đối diện. Ví dụ, đối với mỗi bên, diện tích sẽ là:

• Diện tích = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Diện tích = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Diện tích = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Làm thế nào để tính toán chiều cao?

Vì tất cả các cạnh của tam giác vô hướng đều khác nhau nên không thể tính chiều cao bằng định lý Pitago.

Từ công thức Heron, dựa trên số đo ba cạnh của một tam giác, có thể tính được diện tích.

Chiều cao có thể được xóa khỏi công thức chung của khu vực:

Cạnh bên được thay thế bằng số đo cạnh a, b hoặc c.

Một cách khác để tính chiều cao khi biết giá trị của một trong các góc, là áp dụng các tỷ số lượng giác, trong đó chiều cao sẽ đại diện cho một chân của tam giác.

Ví dụ, khi biết góc đối diện với chiều cao, nó sẽ được xác định bởi sin:

Làm thế nào để tính toán các bên?

Khi bạn có số đo của hai cạnh và góc đối diện với chúng, có thể xác định cạnh thứ ba bằng cách áp dụng định lý côsin.

Ví dụ, trong tam giác AB, chiều cao so với đoạn AC được vẽ. Theo cách này, tam giác được chia thành hai tam giác vuông.

Để tính cạnh c (đoạn AB), hãy áp dụng định lý Pitago cho mỗi tam giác:

• Đối với hình tam giác màu xanh, chúng ta có:

c ² = h ² + m ²

Vì m = b - n nên ta thay:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2bn + n ² .

• Đối với hình tam giác màu hồng, bạn phải:

h ² = a ² - n ²

Nó được thay thế trong phương trình trước:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = a ² + b ² - 2bn.

Biết rằng n = a _* cos C, nó được thay thế vào phương trình trước và nhận được giá trị của cạnh c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Theo Định luật Cosin, các cạnh có thể được tính như sau:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Có những trường hợp người ta không biết số đo của các cạnh của tam giác mà là chiều cao của chúng và các góc tạo thành ở các đỉnh. Để xác định diện tích trong những trường hợp này cần áp dụng các tỉ số lượng giác.

Biết góc của một trong các đỉnh của nó, các chân được xác định và sử dụng tỉ số lượng giác tương ứng:

Ví dụ, chân AB sẽ đối diện với góc C, nhưng kề với góc A. Tùy thuộc vào cạnh bên hoặc chân tương ứng với chiều cao, cạnh còn lại được xóa để có được giá trị này.

Bài tập

Bài tập đầu tiên

Tính diện tích và chiều cao của tam giác ABC, biết rằng các cạnh của nó là:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Giải pháp

Như dữ liệu, số đo ba cạnh của tam giác vô hướng được đưa ra.

Vì giá trị chiều cao không có sẵn, diện tích có thể được xác định bằng cách áp dụng công thức Heron.

Đầu tiên, bán kinh nghiệm được tính:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Bây giờ các giá trị được thay thế trong công thức của Heron:

Biết được diện tích, chiều cao so với cạnh b. Từ công thức chung, xóa nó, chúng ta có:

Diện tích = (cạnh _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Bài tập thứ hai

Cho tam giác ABC vô hướng có các số đo là:

• Đoạn AB = 25 m.
• Đoạn BC = 15 m.

Tại đỉnh B một góc 50º được tạo thành. Tính chiều cao so với cạnh c, chu vi và diện tích của tam giác đó.

Giải pháp

Trong trường hợp này chúng ta có số đo của hai cạnh. Để xác định chiều cao cần tính số đo của cạnh thứ ba.

Vì đã cho góc đối diện với cạnh cho trước nên có thể áp dụng định luật côsin để xác định số đo của cạnh AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Ở đâu:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Dữ liệu được thay thế:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Vì chúng ta đã có giá trị của ba cạnh nên chu vi của tam giác đó được tính:

P = bên a + bên b + bên c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Bây giờ có thể xác định diện tích bằng cách áp dụng công thức Heron, nhưng trước tiên phải tính toán bán kinh nghiệm:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Các số đo của các cạnh và bán kinh nghiệm được thay thế trong công thức của Heron:

Cuối cùng biết được diện tích, chiều cao so với cạnh c có thể tính được. Từ công thức chung, xóa nó, bạn phải:

Diện tích = (cạnh _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Bài tập thứ ba

Trong tam giác vô hướng ABC cạnh b là 40 cm, cạnh c là 22 cm và khối chóp A tạo thành một góc 90 ^hoặc . Tính diện tích tam giác đó.

Giải pháp

Trong trường hợp này, các số đo của hai cạnh của tam giác ABC, cũng như góc tạo thành ở đỉnh A.

Để xác định diện tích không nhất thiết phải tính số đo cạnh a vì thông qua các tỉ số lượng giác ta dùng góc để tìm.

Vì góc đối diện với chiều cao đã biết nên nó sẽ được xác định bởi tích một cạnh và sin của góc.

Thay vào công thức diện tích ta có:

• Diện tích = (cạnh _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Diện tích = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Diện tích = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Diện tích = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Diện tích = 880 cm ² ÷ 2

Diện tích = 440 cm ² .

Người giới thiệu

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Vẽ kỹ thuật: vở ghi hoạt động.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Hình học. Công nghệ CR ,.
3. Angel, AR (2007). Đại số sơ cấp. Pearson Education ,.
4. Baldor, A. (1941). Đại số học. Havana: Văn hóa.
5. Barbosa, JL (2006). Hình học Euclid mặt phẳng. Rio de Janeiro ,.
6. Coxeter, H. (1971). Cơ bản về Hình học. Mexico: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Hình học sơ cấp cho sinh viên đại học. Học tập Cengage.
8. Harpe, P. d. (2000). Các chủ đề trong Lý thuyết nhóm hình học. Nhà xuất bản Đại học Chicago.