HÌNH TAM GIÁC: LỊCH SỬ, YẾU TỐ, PHÂN LOẠI, THUỘC TÍNH - KHOA HỌC - 2026

Hình tam giác là hình học phẳng và khép kín, bao gồm ba cạnh. Một tam giác được xác định bởi ba đường thẳng cắt nhau tạo thành ba góc với nhau. Hình tam giác, đầy tính biểu tượng, hiện diện trong vô số đồ vật và như một yếu tố xây dựng.

Nguồn gốc của hình tam giác đã bị mất trong lịch sử. Từ những bằng chứng khảo cổ, người ta biết rằng loài người nguyên thủy đã biết rõ về nó, cũng như những di vật khảo cổ xác nhận rằng nó đã được sử dụng trong các công cụ và vũ khí.

Hình 1. Hình tam giác. Nguồn: Publicdomainpictures.

Rõ ràng là người Ai Cập cổ đại sở hữu một kiến ​​thức vững chắc về hình học và đặc biệt là về hình tam giác. Chúng đã được phản ánh trong các yếu tố kiến ​​trúc của các tòa nhà hoành tráng của nó.

Trong giấy cói Rhind, bạn sẽ tìm thấy các công thức tính diện tích hình tam giác và hình thang, cũng như một số thể tích và các khái niệm khác về lượng giác thô sơ.

Về phần mình, người ta biết rằng người Babylon đã có thể tính toán diện tích hình tam giác và các hình hình học khác, mà họ sử dụng cho các mục đích thực tế, chẳng hạn như phân chia đất đai. Họ cũng hiểu biết về nhiều tính chất của hình tam giác.

Tuy nhiên, chính người Hy Lạp cổ đại đã hệ thống hóa nhiều khái niệm hình học phổ biến ngày nay, mặc dù phần lớn kiến ​​thức này không phải là độc quyền, vì nó chắc chắn được chia sẻ với các nền văn minh cổ đại khác.

Yếu tố tam giác

Các phần tử của bất kỳ tam giác nào được chỉ ra trong hình sau. Có ba: đỉnh, cạnh và góc.

Hình 2. Kí hiệu của tam giác và các yếu tố của chúng. Nguồn: Wikimedia Commons, được sửa đổi bởi F. Zapata

-Góc : là giao điểm của các đoạn thẳng mà đoạn thẳng xác định tam giác. Ví dụ trong hình trên, đường thẳng L _AC chứa đoạn thẳng AC, cắt đường thẳng L _AB chứa đoạn thẳng AB tại điểm A.

- Các cạnh : giữa mỗi cặp đỉnh kẻ một đoạn thẳng tạo thành một cạnh của tam giác. Phân đoạn này có thể được biểu thị bằng các chữ cái cuối hoặc bằng cách sử dụng một chữ cái cụ thể để gọi nó. Trong ví dụ của hình 2, cạnh AB còn được gọi là "c".

- Góc : Giữa mỗi cạnh có đỉnh chung tạo một góc có đỉnh trùng với đỉnh của tam giác. Nói chung, góc được biểu thị bằng một chữ cái Hy Lạp, như đã nêu ở phần đầu.

Để xây dựng một tam giác cụ thể, với hình dạng và kích thước nhất định, chỉ cần có một trong các tập dữ liệu sau:

- Ba cạnh, khá rõ ràng trong trường hợp của một tam giác.

-Hai cạnh và góc giữa chúng, và ngay lập tức cạnh còn lại được vẽ.

-Hai góc (trong) và cạnh giữa chúng. Bằng cách mở rộng hai cạnh còn thiếu được vẽ và hình tam giác đã sẵn sàng.

Ký hiệu

Nói chung trong ký hiệu tam giác, các quy ước sau được sử dụng: các đỉnh được biểu thị bằng các chữ cái Latinh viết hoa, các cạnh bằng các chữ cái Latinh viết thường và các góc bằng các chữ cái Hy Lạp (xem hình 2).

Bằng cách này, tam giác được đặt tên theo các đỉnh của nó. Ví dụ, tam giác bên trái trong hình 2 là tam giác ABC, và tam giác bên phải là tam giác A'B'C '.

Nó cũng có thể sử dụng các ký hiệu khác; Ví dụ, góc α trong Hình 2 được ký hiệu là BAC. Lưu ý rằng chữ cái của đỉnh đi ở giữa và các chữ cái được viết theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Những lần khác dấu mũ được sử dụng để biểu thị góc:

α = ∠A

Các loại hình tam giác

Có một số tiêu chí để phân loại hình tam giác. Điều thông thường nhất là phân loại chúng theo số đo các cạnh của chúng hoặc theo số đo các góc của chúng. Tùy thuộc vào số đo các cạnh của chúng, các tam giác có thể là: hình cân, hình cân hoặc cạnh đều:

-Scaleno : ba mặt của nó khác nhau.

-Khung : nó có hai cạnh bằng nhau và một cạnh khác.

-Equilátero : ba cạnh bằng nhau.

Hình 3. Phân loại tam giác theo các cạnh của chúng. Nguồn: F. Zapata

Theo số đo các góc của chúng, các tam giác được đặt tên như sau:

- Vật cản , nếu một trong các góc bên trong lớn hơn 90º.

- Góc nhọn , khi ba góc trong của tam giác nhọn, nghĩa là nhỏ hơn 90º

- Hình chữ nhật , trong trường hợp một trong các góc trong của nó có giá trị 90º. Các cạnh tạo thành 90º được gọi là chân và cạnh đối diện với góc vuông là cạnh huyền.

Hình 4. Phân loại tam giác theo các góc trong của chúng. Nguồn: F. Zapata.

Đồng dư của tam giác

Khi hai tam giác có cùng hình dạng và có cùng kích thước, chúng được cho là đồng dư. Tất nhiên đồng dư liên quan đến bình đẳng, vậy tại sao trong hình học chúng ta lại nói đến "hai tam giác đồng dư" thay vì "hai tam giác bằng nhau"?

Tốt, nên sử dụng thuật ngữ "đồng dư" để xác định sự thật, vì hai tam giác có thể có cùng hình dạng và kích thước, nhưng được định hướng khác nhau trong mặt phẳng (xem hình 3). Từ quan điểm của hình học, chúng sẽ không còn hoàn toàn giống nhau nữa.

Hình 5. Các tam giác đồng dạng, nhưng không nhất thiết phải bằng nhau, vì hướng của chúng trong mặt phẳng là khác nhau. Nguồn: F. Zapata.

Tiêu chí công suất

Hai tam giác đồng dạng nếu bất kỳ trường hợp nào sau đây xảy ra:

- Ba cạnh đo giống nhau (một lần nữa điều này là rõ ràng nhất).

-Chúng có hai cạnh giống nhau và cùng góc giữa chúng.

-Cả hai góc trong bằng nhau và cạnh giữa các góc này có số đo bằng nhau.

Có thể thấy, đó là việc hai tam giác hội tụ đủ các điều kiện cần thiết để khi xây dựng chúng có hình dạng và kích thước hoàn toàn giống nhau.

Các tiêu chí về độ đồng dạng rất hữu ích, vì trong thực tế, vô số bộ phận và bộ phận cơ khí phải được sản xuất hàng loạt, sao cho các phép đo và hình dạng của chúng hoàn toàn giống nhau.

Tương tự của các tam giác

Hình tam giác tương tự như hình tam giác khác nếu chúng có cùng hình dạng, ngay cả khi chúng có kích thước khác nhau. Để đảm bảo rằng hình dạng giống nhau, yêu cầu các góc bên trong có cùng giá trị và các cạnh phải tỷ lệ với nhau.

Hình 6. Hai tam giác đồng dạng: kích thước của chúng khác nhau nhưng tỉ lệ của chúng như nhau. Nguồn: F. Zapata.

Các hình tam giác trong hình 2 cũng tương tự như trong hình 6. Theo cách này:

Đối với các bên, tỷ lệ tương đồng sau đây được giữ nguyên:

Tính chất

Các tính chất cơ bản của hình tam giác như sau:

-Tổng các góc trong của bất kỳ tam giác nào luôn bằng 180º.

-Đối với một tam giác bất kỳ, tổng các góc ngoài của nó bằng 360 °.

- Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với góc nói trên.

Định lý

Định lý đầu tiên của Thales

Chúng được quy cho nhà triết học và toán học Hy Lạp Thales of Miletus, người đã phát triển một số định lý liên quan đến hình học. Đầu tiên trong số họ nói như sau:

Hình 7. Định lý Thales. Nguồn: F. Zapata.

Nói cách khác:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Định lý đầu tiên của Thales có thể áp dụng cho một tam giác, chẳng hạn chúng ta có tam giác ABC màu xanh ở bên trái, được cắt bởi các đường song song màu đỏ ở bên phải:

Hình 8. Định lý Thales và các tam giác đồng dạng.

Tam giác màu tím AB'C 'đồng dạng với tam giác màu xanh ABC, do đó, theo định lý Thales, có thể viết như sau:

AB´ / AC´ = AB / AC

Và nó phù hợp với những gì đã được giải thích trước đó trong phân đoạn về sự đồng dạng của các tam giác. Nhân tiện, các đường thẳng song song cũng có thể thẳng đứng hoặc song song với cạnh huyền và các tam giác đồng dạng cũng thu được theo cách tương tự.

Định lý thứ hai của Thales

Định lý này cũng đề cập đến một tam giác và một đường tròn có tâm O, chẳng hạn như những hình bên dưới. Trong hình này, AC là đường kính của chu vi và B là một điểm trên đó, B khác A và B.

Định lý thứ hai của Thales phát biểu rằng:

Hình 9. Định lý thứ hai của Thales. Nguồn: Wikimedia Commons. Inductiveload.

Định lý Pitago

Đây là một trong những định lý nổi tiếng nhất trong lịch sử. Đó là do nhà toán học Hy Lạp Pythagoras ở Samos (569 - 475 TCN) và có thể áp dụng cho một tam giác vuông. Nói vậy:

Nếu chúng ta lấy làm ví dụ về hình tam giác màu xanh lam trong hình 8 hoặc hình tam giác màu tím, vì cả hai đều là hình chữ nhật, thì có thể khẳng định rằng:

AC ² = AB ² + BC ² (tam giác màu xanh lam)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (tam giác màu tím)

Diện tích hình tam giác

Diện tích của hình tam giác được cho bởi tích của cơ sở a và chiều cao h của nó, chia cho 2. Và theo lượng giác, chiều cao này có thể được viết là h = b sinθ.

Hình 10. Diện tích hình tam giác. Nguồn: Wikimedia Commons.

Ví dụ về hình tam giác

ví dụ 1

Người ta nói rằng bằng định lý đầu tiên của mình, Thales đã đo được chiều cao của Đại kim tự tháp ở Ai Cập, một trong 7 kỳ quan của thế giới cổ đại, bằng cách đo bóng mà nó chiếu trên mặt đất và chiếu bởi một chiếc cọc cắm xuống đất.

Đây là phác thảo của quy trình được tiếp nối bởi Tales:

Hình 11. Sơ đồ đo chiều cao của Kim tự tháp bằng các hình tam giác đồng dạng. Nguồn: Wikimedia Commons. Dake

Thales đã giả định một cách chính xác rằng các tia sáng mặt trời tấn công song song. Với suy nghĩ này, anh đã tưởng tượng ra hình tam giác vuông lớn ở bên phải.

Có D là chiều cao của hình chóp và C là khoảng cách trên mặt đất tính từ tâm đến bóng do kim tự tháp đổ xuống nền sa mạc. Đo C có thể tốn công, nhưng chắc chắn dễ hơn đo chiều cao của kim tự tháp.

Ở bên trái là hình tam giác nhỏ, với các chân A và B, trong đó A là chiều cao của chiếc cọc được đóng theo phương thẳng đứng xuống đất và B là bóng mà nó đổ xuống. Cả hai chiều dài đều có thể đo được, bằng C (C bằng chiều dài của bóng + nửa chiều dài của hình chóp).

Vì vậy, theo sự đồng dạng của các tam giác:

A / B = D / C

Và chiều cao của Đại kim tự tháp hóa ra là: D = C. (A / B)

Ví dụ 2

Vì kèo trong xây dựng dân dụng là kết cấu được làm từ những thanh gỗ hoặc kim loại thẳng mỏng đan chéo nhau, được sử dụng làm giá đỡ trong nhiều công trình. Chúng còn được gọi là kèo, kèo, hay kèo.

Trong chúng luôn có hình tam giác, vì các thanh được kết nối với nhau tại các điểm gọi là nút, có thể cố định hoặc khớp nối.

Hình 12. Hình tam giác hiện diện trong khung của cây cầu này. Nguồn: px.

Ví dụ 3

Phương pháp được gọi là phương pháp tam giác cho phép xác định vị trí của các điểm không thể tiếp cận biết các khoảng cách khác dễ đo hơn, với điều kiện là một tam giác được tạo thành bao gồm vị trí mong muốn giữa các đỉnh của nó.

Ví dụ, trong hình sau chúng ta muốn biết con tàu đang ở đâu trên biển, ký hiệu là B.

Hình 13. Sơ đồ tam giác để xác định vị trí của tàu. Nguồn: Wikimedia Commons. Colette

Đầu tiên, người ta đo khoảng cách giữa hai điểm trên bờ biển, trong hình là A và C. Tiếp theo, các góc α và β phải được xác định với sự trợ giúp của máy kinh vĩ, một thiết bị dùng để đo các góc dọc và ngang.

Với tất cả thông tin này, một tam giác được xây dựng trong đó đỉnh trên là con tàu. Nó vẫn là tính toán góc γ, sử dụng các tính chất của tam giác và khoảng cách AB và CB bằng lượng giác, để xác định vị trí của con tàu trên biển.

Bài tập

Bài tập 1

Trong hình bên, các tia sáng mặt trời là song song. Theo cách này, cây cao 5 mét đổ bóng 6 mét xuống mặt đất. Đồng thời, bóng của tòa nhà là 40 mét. Theo Định lý đầu tiên của Thales, hãy tìm chiều cao của tòa nhà.

Hình 14. Sơ đồ cho bài tập đã giải 1. Nguồn: F. Zapata.

Giải pháp

Hình tam giác màu đỏ có các cạnh lần lượt là 5 và 6 mét, trong khi hình tam giác màu xanh có chiều cao H - chiều cao của tòa nhà - và cơ sở là 40 mét. Cả hai tam giác đều đồng dạng, do đó:

Bài tập 2

Bạn cần biết khoảng cách nằm ngang giữa hai điểm A và B, nhưng chúng nằm trên mặt đất rất không bằng phẳng.

Khoảng tại điểm giữa (P _m ) của địa hình nói trên nổi bật lên một đỉnh cao 1,75 mét. Nếu thước dây cho biết chiều dài 26 mét đo từ A đến vạch nổi và 27 mét từ B đến cùng một điểm, hãy tìm quãng đường AB.

Hình 15. Sơ đồ cho bài tập đã giải 2. Nguồn: Jiménez, R. Mathematics II. Hình học và lượng giác.

Giải pháp

Định lý Pitago được áp dụng cho một trong hai tam giác vuông trong hình. Bắt đầu với cái bên trái:

Hypotenuse = c = 26 mét

Chiều cao = a = 1,75 mét

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Bây giờ áp dụng Pythagoras trong tam giác bên phải, lần này c = 27 mét, a = 1,75 mét. Với những giá trị sau:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

Khoảng cách AB được tìm thấy bằng cách thêm các kết quả sau:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Người giới thiệu

1. Baldor, JA 1973. Hình học Mặt phẳng và Không gian. Văn hóa Trung Mỹ.
2. Barredo, D. Là hình học của tam giác. Được khôi phục từ: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Toán học II. Hình học và lượng giác. Phiên bản thứ hai. Lề.
4. Wentworth, G. Hình học Mặt phẳng. Khôi phục từ: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Tam giác. Được phục hồi từ: es. wikipedia.org.