- Tam thức
- Tam thức vuông hoàn hảo
- Đặc điểm của tam thức lớp 2
- Ô vuông hoàn hảo
- Công thức phân giải
- Giải thích hình học
- Bao thanh toán tam thức
- Ví dụ
- ví dụ 1
- Ví dụ 2
- Người giới thiệu
Trước khi học cách giải tam thức dạng x ^ 2 + bx + c , và thậm chí trước khi biết khái niệm về một tam thức, điều quan trọng là phải biết hai khái niệm cơ bản; cụ thể là các khái niệm về đơn thức và đa thức. Đơn thức là biểu thức kiểu a * x n , trong đó a là số hữu tỉ, n là số tự nhiên và x là biến số.
Đa thức là một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức có dạng a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0 , trong đó mỗi a i , với i = 0,…, n, là số hữu tỉ, n là số tự nhiên và a_n là số khác không. Trong trường hợp này bậc của đa thức được cho là n.
Một đa thức được tạo thành bởi tổng của chỉ hai số hạng (hai đơn thức) có bậc khác nhau được gọi là một nhị thức.
Tam thức
Đa thức được tạo thành bởi tổng của chỉ ba số hạng (ba đơn thức) có bậc khác nhau được gọi là một tam thức. Sau đây là các ví dụ về tam thức:
- x 3 + x 2 + 5x
- 2x 4 -x 3 +5
- x 2 + 6x + 3
Có một số loại tam thức. Trong số này, nổi bật là tam thức vuông hoàn hảo.
Tam thức vuông hoàn hảo
Một tam thức vuông hoàn hảo là kết quả của việc bình phương một nhị thức. Ví dụ:
- (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
- (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
- (4x 2 -2y 4 ) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
- 1 / 16x 2 y 8 -1 / 2xy 4 z + z 2 = (1 / 4xy 4 ) 2 -2 (1 / 4xy 4 ) z + z 2 = (1 / 4xy 4 -z) 2
Đặc điểm của tam thức lớp 2
Ô vuông hoàn hảo
Nói chung, một tam thức có dạng ax 2 + bx + c là một hình vuông hoàn hảo nếu phân biệt của nó bằng 0; nghĩa là, nếu b 2 -4ac = 0, vì trong trường hợp này nó sẽ có một căn duy nhất và nó có thể được biểu diễn dưới dạng a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 , trong đó d là căn đã được đề cập.
Căn của đa thức là một số trong đó đa thức trở thành 0; nói cách khác, một số khi thay x trong biểu thức đa thức sẽ cho kết quả bằng không.
Công thức phân giải
Một công thức chung để tính toán gốc rễ của một đa thức thứ hai độ có dạng ax 2 + bx + c là công thức chỉ những thuốc làm tiêu độc, trong đó nêu rằng những rễ được cho bởi (-b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, trong đó b 2 -4ac được gọi là phân biệt và thường được ký hiệu là ∆. Từ công thức này ta suy ra ax 2 + bx + c có:
- Hai nghiệm nguyên khác nhau nếu ∆> 0.
- Một căn thực duy nhất nếu ∆ = 0.
- Nó không có căn thực nếu ∆ <0.
Theo đó, chỉ những tam thức có dạng x 2 + bx + c mới được xem xét, trong đó rõ ràng c phải là một số khác 0 (nếu không nó sẽ là một nhị thức). Các loại tam thức này có những lợi thế nhất định khi tính toán và hoạt động với chúng.
Giải thích hình học
Về mặt hình học, tam thức x 2 + bx + c là một parabol mở lên trên và có đỉnh tại điểm (-b / 2, -b 2/4 + c) của mặt phẳng Descartes mà x 2 + bx + c = ( x + b / 2) 2 -b 2/4 + c.
Parabol này cắt trục Y tại điểm (0, c) và trục X tại các điểm (d 1 , 0) và (d 2 , 0); thì d 1 và d 2 là nghiệm nguyên của tam thức. Có thể xảy ra trường hợp tam thức có một căn duy nhất là d, trong trường hợp đó đường cắt duy nhất với trục X sẽ là (d, 0).
Cũng có thể xảy ra rằng tam thức không có bất kỳ căn thực nào, trong trường hợp đó nó sẽ không giao trục X tại bất kỳ điểm nào.
Ví dụ: x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 là parabol có đỉnh tại (-3,0), giao với trục Y tại (0, 9) và trục X tại (-3,0).
Bao thanh toán tam thức
Một công cụ rất hữu ích khi làm việc với đa thức là tính thừa, bao gồm việc biểu thị một đa thức dưới dạng tích của các thừa số. Nói chung, cho một tam thức có dạng x 2 + bx + c, nếu nó có hai nghiệm khác nhau d 1 và d 2 , thì nó có thể được tính là (xd 1 ) (xd 2 ).
Nếu nó có một căn duy nhất là d, nó có thể được tính là (xd) (xd) = (xd) 2 , và nếu nó không có căn thực, nó vẫn như cũ; trong trường hợp này, nó không thừa nhận một thừa số hóa là sản phẩm của các yếu tố khác với chính nó.
Điều này có nghĩa là, khi biết các gốc của một tam thức ở dạng đã được thiết lập, việc phân tích nhân tử của nó có thể dễ dàng được biểu diễn, và như đã đề cập ở trên, các gốc này luôn có thể được xác định bằng cách sử dụng công thức phân giải.
Tuy nhiên, có một số lượng đáng kể loại tam thức này có thể được tính theo nhân tử mà không cần biết gốc của chúng trước, điều này giúp đơn giản hóa công việc.
Các gốc có thể được xác định trực tiếp từ việc phân tích nhân tử mà không cần sử dụng công thức phân giải; đây là những đa thức có dạng x 2 + (a + b) x + ab. Trong trường hợp này, chúng tôi có:
x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).
Từ đó có thể dễ dàng thấy rằng các gốc là –a và –b.
Nói cách khác, cho một tam thức x 2 + bx + c, nếu có hai số u và v sao cho c = uv và b = u + v thì x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).
Nghĩa là, với một tam thức x 2 + bx + c, trước tiên cần xác minh xem có hai số như vậy nhân với chúng sẽ cho số hạng độc lập (c) và cộng (hoặc trừ, tùy trường hợp), chúng cho số hạng đi kèm với x ( b).
Không phải với mọi tam thức đều có thể áp dụng phương pháp này; trong trường hợp không thể thực hiện được thì sử dụng giải pháp và áp dụng điều đã nói ở trên.
Ví dụ
ví dụ 1
Để nhân tử của tam thức sau x 2 + 3x + 2, thực hiện như sau:
Bạn phải tìm hai số sao cho khi cộng chúng thì kết quả là 3 và khi nhân chúng thì kết quả là 2.
Sau khi kiểm tra, có thể kết luận rằng các số được tìm là: 2 và 1. Do đó, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).
Ví dụ 2
Để nhân tử của tam thức x 2 -5x + 6, ta tìm hai số có tổng là -5 và tích của chúng là 6. Các số thỏa mãn hai điều kiện này là -3 và -2. Do đó, nhân tử của tam thức đã cho là x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).
Người giới thiệu
- Fuentes, A. (2016). TOÁN HỌC CƠ BẢN. Giới thiệu về Giải tích. Lulu.com.
- Garo, M. (2014). Toán học: phương trình bậc hai: Cách giải một phương trình bậc hai. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Toán học cho quản lý và kinh tế. Giáo dục Pearson.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Toán 1 SEP. Ngưỡng.
- Preciado, CT (2005). Môn Toán học thứ 3. Biên tập Progreso.
- Rock, NM (2006). Đại số tôi thật dễ dàng! Quá dễ. Team Rock Press.
- Sullivan, J. (2006). Đại số và Lượng giác. Giáo dục Pearson.