- Lịch sử
- Nền tảng của hình học phân tích
- Thế kỷ XVI
- Nền tảng của hình học phân tích
- Ảnh hưởng
- Hình học giải tích của ba chiều trở lên
- Người giới thiệu
Tiền thân lịch sử của hình học giải tích bắt đầu từ thế kỷ XVII, khi Pierre de Fermat và René Descartes xác định ý tưởng cơ bản của nó. Phát minh của ông theo sau việc hiện đại hóa đại số và ký hiệu đại số của François Viète.
Lĩnh vực này có cơ sở ở Hy Lạp cổ đại, đặc biệt là trong các công trình của Apollonius và Euclid, những người có ảnh hưởng lớn trong lĩnh vực toán học này.
Ý tưởng cơ bản đằng sau hình học giải tích là mối quan hệ giữa hai biến số, sao cho một biến là hàm của biến kia, xác định một đường cong.
Ý tưởng này lần đầu tiên được phát triển bởi Pierre de Fermat. Nhờ khung cơ bản này, Isaac Newton và Gottfried Leibniz đã có thể phát triển phép tính.
Nhà triết học người Pháp Descartes cũng đã khám phá ra một cách tiếp cận đại số đối với hình học, rõ ràng là của riêng ông. Công việc của Descartes về hình học xuất hiện trong cuốn sách nổi tiếng của ông Discourse on Method.
Cuốn sách này chỉ ra rằng la bàn và các cấu tạo hình học cạnh thẳng bao gồm các phép cộng, trừ, nhân và căn bậc hai.
Hình học giải tích thể hiện sự kết hợp của hai truyền thống quan trọng trong toán học: hình học là nghiên cứu về hình thức, số học và đại số, liên quan đến đại lượng hoặc số. Vì vậy, hình học giải tích là ngành nghiên cứu lĩnh vực hình học sử dụng các hệ tọa độ.
Lịch sử
Nền tảng của hình học phân tích
Mối quan hệ giữa hình học và đại số đã phát triển trong suốt lịch sử toán học, mặc dù hình học đã đạt đến giai đoạn trưởng thành sớm hơn.
Ví dụ, nhà toán học Hy Lạp Euclid đã có thể sắp xếp nhiều kết quả trong cuốn sách kinh điển The Elements của ông.
Nhưng chính Apollonius Perga của Hy Lạp cổ đại đã tiên đoán sự phát triển của hình học giải tích trong cuốn sách Conics của ông. Ông định nghĩa một hình nón là giao điểm giữa hình nón và mặt phẳng.
Sử dụng kết quả của Euclid về các tam giác đồng dạng và các mặt cắt của đường tròn, ông đã tìm ra mối quan hệ được cho bởi khoảng cách từ bất kỳ điểm "P" nào của một đường conic đến hai đường thẳng vuông góc, trục chính của đường conic và tiếp tuyến tại điểm cuối của trục. Apollonius đã sử dụng mối quan hệ này để suy ra các tính chất cơ bản của hình nón.
Sự phát triển sau đó của các hệ tọa độ trong toán học chỉ xuất hiện sau khi đại số đã trưởng thành nhờ các nhà toán học Hồi giáo và Ấn Độ.
Cho đến thời kỳ Phục hưng, hình học được sử dụng để biện minh cho các giải pháp cho các vấn đề đại số, nhưng không có nhiều điều mà đại số có thể đóng góp vào hình học.
Tình hình này sẽ thay đổi với việc áp dụng một ký hiệu thuận tiện cho các quan hệ đại số và sự phát triển của khái niệm về một hàm toán học, mà bây giờ là có thể.
Thế kỷ XVI
Vào cuối thế kỷ 16, nhà toán học Pháp François Viète đã giới thiệu ký hiệu đại số có hệ thống đầu tiên, sử dụng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng số, cả đã biết và chưa biết.
Ông cũng phát triển các phương pháp tổng quát mạnh mẽ để làm việc với các biểu thức đại số và giải các phương trình đại số.
Nhờ đó, các nhà toán học đã không hoàn toàn phụ thuộc vào các hình hình học và trực giác hình học để giải quyết vấn đề.
Thậm chí, một số nhà toán học bắt đầu từ bỏ lối tư duy hình học tiêu chuẩn, theo đó các biến tuyến tính có độ dài và hình vuông tương ứng với diện tích, trong khi biến khối tương ứng với thể tích.
Những người đầu tiên thực hiện bước này là nhà triết học và toán học René Descartes, và luật sư kiêm nhà toán học Pierre de Fermat.
Nền tảng của hình học phân tích
Descartes và Fermat đã độc lập thành lập hình học giải tích trong những năm 1630, sử dụng đại số của Viète để nghiên cứu quỹ tích.
Các nhà toán học này nhận ra rằng đại số là một công cụ mạnh mẽ trong hình học và đã phát minh ra cái mà ngày nay gọi là hình học giải tích.
Một bước đột phá mà họ thực hiện là vượt qua Viète bằng cách sử dụng các chữ cái để biểu thị khoảng cách có thể thay đổi thay vì cố định.
Descartes đã sử dụng các phương trình để nghiên cứu các đường cong được xác định về mặt hình học và nhấn mạnh sự cần thiết phải xem xét các đường cong đại số-đồ họa tổng quát của các phương trình đa thức theo độ "x" và "y".
Về phần mình, Fermat nhấn mạnh rằng bất kỳ mối quan hệ nào giữa tọa độ "x" và "y" sẽ xác định một đường cong.
Sử dụng những ý tưởng này, ông đã cấu trúc lại các tuyên bố của Apollonius về các thuật ngữ đại số và khôi phục một số công việc đã mất của mình.
Fermat chỉ ra rằng bất kỳ phương trình bậc hai nào trong "x" và "y" có thể được đặt ở dạng chuẩn của một trong các phần hình nón. Mặc dù vậy, Fermat chưa bao giờ xuất bản công trình của mình về chủ đề này.
Nhờ những tiến bộ của họ, những gì Archimedes chỉ có thể giải quyết rất khó khăn và đối với những trường hợp cá biệt, Fermat và Descartes có thể giải nhanh chóng và cho một số lượng lớn các đường cong (ngày nay được gọi là đường cong đại số).
Nhưng ý tưởng của ông chỉ nhận được sự chấp nhận chung thông qua nỗ lực của các nhà toán học khác vào nửa sau của thế kỷ 17.
Các nhà toán học Frans van Schooten, Florimond de Beaune và Johan de Witt đã giúp mở rộng công trình của Decartes và bổ sung thêm tài liệu quan trọng.
Ảnh hưởng
Ở Anh, John Wallis đã phổ biến hình học giải tích. Ông đã sử dụng các phương trình để xác định các conics và suy ra các tính chất của chúng. Mặc dù ông sử dụng các tọa độ âm một cách tự do, nhưng chính Isaac Newton đã sử dụng hai trục xiên để chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư.
Newton và Gottfried Leibniz người Đức đã cách mạng hóa toán học vào cuối thế kỷ 17 bằng cách chứng minh độc lập sức mạnh của phép tính toán.
Newton đã chứng minh tầm quan trọng của các phương pháp giải tích trong hình học và vai trò của chúng trong giải tích khi ông khẳng định rằng bất kỳ hình lập phương nào (hoặc bất kỳ đường cong đại số bậc ba nào) đều có ba hoặc bốn phương trình chuẩn cho các trục tọa độ phù hợp. Với sự giúp đỡ của chính Newton, nhà toán học người Scotland John Stirling đã chứng minh điều đó vào năm 1717.
Hình học giải tích của ba chiều trở lên
Mặc dù cả Descartes và Fermat đều đề nghị sử dụng ba tọa độ để nghiên cứu các đường cong và bề mặt trong không gian, hình học phân tích ba chiều phát triển chậm cho đến năm 1730.
Các nhà toán học Euler, Hermann và Clairaut đã đưa ra các phương trình tổng quát cho hình trụ, hình nón và bề mặt của cuộc cách mạng.
Ví dụ, Euler đã sử dụng các phương trình cho phép tịnh tiến trong không gian để biến đổi mặt bậc hai tổng quát sao cho các trục chính của nó trùng với các trục tọa độ của nó.
Euler, Joseph-Louis Lagrange và Gaspard Monge đã tạo ra hình học giải tích độc lập với hình học tổng hợp (không giải tích).
Người giới thiệu
- Sự phát triển của hình học giải tích (2001). Được khôi phục từ encyclopedia.com
- Lịch sử hình học giải tích (2015). Đã khôi phục từ maa.org
- Phân tích (Toán học). Phục hồi từ britannica.com
- Hình học giải tích. Phục hồi từ britannica.com
- Descartes và sự ra đời của hình học giải tích. Được khôi phục từ sciricalirect.com