ĐẠO HÀM TỪNG PHẦN: KÝ HIỆU, VÍ DỤ VÀ CÁC BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - TOÁN HỌC - 2025

Đạo hàm riêng của một hàm của một số biến là những đạo hàm xác định tốc độ thay đổi của hàm khi một trong các biến có biến thiên nhỏ, trong khi các biến khác không thay đổi.

Để làm cho ý tưởng cụ thể hơn, giả sử trường hợp của một hàm hai biến: z = f (x, y). Đạo hàm riêng của hàm f đối với biến x được tính như là đạo hàm thông thường đối với x, nhưng lấy biến y coi như là hằng số.

Hình 1. Hàm f (x, y) và các đạo hàm riêng của nó ∂ _x f y ∂ _y f tại điểm P. (do R. Pérez xây dựng với geogebra)

Ký hiệu phái sinh từng phần

Phép toán đạo hàm riêng của hàm f (x, y) trên biến x được biểu thị theo bất kỳ cách nào sau đây:

Trong đạo hàm riêng, ký hiệu ∂ (một loại chữ d làm tròn còn được gọi là d của Jacobi) được sử dụng, trái ngược với đạo hàm thông thường cho các hàm một biến trong đó chữ d được sử dụng cho đạo hàm.

Nói chung, đạo hàm riêng của một hàm nhiều biến, đối với một trong các biến của nó, dẫn đến một hàm mới trong cùng các biến của hàm ban đầu:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Tính toán và ý nghĩa của đạo hàm riêng

Để xác định tốc độ thay đổi hoặc hệ số góc của hàm đối với một điểm cụ thể (x = a, y = b) theo hướng song song với trục X:

1- Hàm ∂ _x f (x, y) = g (x, y) được tính , lấy đạo hàm thông thường trong biến x và để biến y cố định hoặc không đổi.

2- Khi đó thay giá trị của điểm x = a và y = b mà ta muốn biết tốc độ biến thiên của hàm số theo phương x:

{Hệ số góc theo phương x tại điểm (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Để tính tốc độ thay đổi theo hướng y tại điểm tọa độ (a, b), trước hết hãy tính ∂ _và f (x, y) = h (x, y).

4- Sau đó thay điểm (x = a, y = b) trong kết quả trước đó để thu được:

{Độ dốc theo phương y tại điểm (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Ví dụ về đạo hàm riêng

Một số ví dụ về đạo hàm riêng như sau:

ví dụ 1

Cho hàm:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Tìm đạo hàm riêng của hàm f theo biến x và biến y.

Giải pháp:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Lưu ý rằng để tính đạo hàm riêng của hàm f đối với biến số x, đạo hàm thông thường đối với x được thực hiện nhưng biến y đã được thực hiện như thể nó không đổi. Tương tự, trong phép tính đạo hàm riêng của f đối với y, biến x được coi là một hằng số.

Hàm f (x, y) là một bề mặt được gọi là một paraboloid được thể hiện trong hình 1 với màu son.

Ví dụ 2

Tìm tỷ lệ thay đổi (hoặc hệ số góc) của hàm f (x, y) từ Ví dụ 1, theo hướng của trục X và trục Y đối với điểm (x = 1, y = 2).

Giải: Để tìm hệ số góc theo hướng x và y tại điểm đã cho, chỉ cần thay các giá trị của điểm vào hàm ∂ _x f (x, y) và vào hàm ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _và f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Hình 1 cho thấy đường tiếp tuyến (màu đỏ) với đường cong được xác định bởi giao điểm của hàm f (x, y) với mặt phẳng y = 2, hệ số góc của đường này là -2. Hình 1 cũng cho thấy đường tiếp tuyến (màu xanh lục) của đường cong xác định giao điểm của hàm f với mặt phẳng x = 1; Đường này có độ dốc -4.

Bài tập

Bài tập 1

Một thủy tinh hình nón tại một thời điểm nhất định chứa nước sao cho mặt nước có bán kính r và độ sâu h. Nhưng thủy tinh có một lỗ nhỏ ở đáy, qua đó nước bị mất đi với tốc độ C cm khối trên giây. Xác định tốc độ đi xuống từ mặt nước tính bằng cm trên giây.

Giải pháp:

Trước hết, cần nhớ rằng thể tích của nước tại thời điểm đã cho là:

Thể tích là một hàm của hai biến, bán kính r và độ sâu h: V (r, h).

Khi thể tích thay đổi một lượng nhỏ dV thì bán kính r của mặt nước và độ sâu h của nước cũng thay đổi theo mối quan hệ sau:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Ta tiến hành tính các đạo hàm riêng của V tương ứng với r và h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Hơn nữa, bán kính r và độ sâu h thỏa mãn mối quan hệ sau:

Chia cả hai thành viên theo chênh lệch thời gian dt cho:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Nhưng dV / dt là thể tích của nước mất đi trong một đơn vị thời gian được biết đến là C cm trên giây, còn dh / dt là tốc độ đi xuống của bề mặt tự do của nước, sẽ được gọi là v. Tức là, mặt nước tại thời điểm xác định hạ xuống với tốc độ v (tính bằng cm / s) được cho bởi:

v = C / (π r ^ 2).

Như một ứng dụng số, giả sử rằng r = 3 cm, h = 4 cm, và tốc độ rò rỉ C là 3 cm ^ 3 / s. Khi đó tốc độ đi xuống của bề mặt tại thời điểm đó là:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Bài tập 2

Định lý Clairaut-Schwarz phát biểu rằng nếu một hàm liên tục trong các biến độc lập và đạo hàm riêng của nó đối với các biến độc lập cũng liên tục, thì các đạo hàm hỗn hợp cấp hai có thể thay thế cho nhau. Kiểm tra định lý này cho hàm

f (x, y) = x ^ 2 y, nghĩa là f _xy f = ∂ _yx f đúng.

Giải pháp:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) trong khi ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Định lý Schwarz đã được chứng minh là đúng, vì hàm f và các đạo hàm riêng của nó liên tục với mọi số thực.

Người giới thiệu

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Tính toán 5ed. Đồi Mc Graw.
2. Leithold, L. (1992). Tính toán với hình học giải tích. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Phép tính. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Phép tính vi phân. Cạnh huyền.
5. Saenz, J. (2006). Tích phân tích. Cạnh huyền.
6. Wikipedia. Đạo hàm từng phần. Phục hồi từ: es.wikipedia.com