SỐ PHỨC: THUỘC TÍNH, VÍ DỤ, PHÉP TOÁN - TOÁN HỌC - 2026

Số phức là tập hợp số bao gồm các số thực và tất cả các căn của đa thức bao gồm các cặp căn của số âm. Các gốc này không tồn tại trong tập các số thực, nhưng trong các số phức thì có nghiệm.

Số phức bao gồm một phần thực và một phần gọi là "ảo". Ví dụ, phần thực được gọi là a, và phần ảo ib, với a và b các số thực và "i" là đơn vị ảo. Theo cách này, số phức có dạng:

Hình 1. Biểu diễn nhị thức của một số phức theo phần thực và phần ảo. Nguồn: Pixabay.

Ví dụ về số phức là 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Nhưng trước khi thao tác với chúng, hãy xem đơn vị ảo tôi bắt nguồn từ đâu, xem xét phương trình bậc hai này:

x ² - 10x + 34 = 0

Trong đó a = 1, b = -10 và c = 34.

Khi áp dụng công thức phân giải để xác định dung dịch, chúng ta thấy như sau:

Làm thế nào để xác định giá trị của √-36? Không có số thực bình phương nào tạo ra đại lượng âm. Sau đó kết luận rằng phương trình này không có nghiệm thực.

Tuy nhiên, chúng ta có thể viết như sau:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Nếu chúng ta xác định một giá trị x nào đó sao cho:

x ² = -1

Vì thế:

x = ± √-1

Và phương trình trên sẽ có một nghiệm. Do đó, đơn vị ảo được định nghĩa là:

i = √-1

Và vì thế:

√-36 = 6i

Nhiều nhà toán học thời cổ đại đã làm việc để giải quyết các vấn đề tương tự, nổi bật là Girolamo Cardano (1501-1576) thời Phục hưng, Nicolo Fontana (1501-1557) và Raffaele Bombelli (1526-1572).

Nhiều năm sau René Descartes (1596-1650) gọi các đại lượng là "tưởng tượng" như √-36 trong ví dụ. Vì lý do này, √-1 được gọi là đơn vị ảo.

Tính chất của số phức

- Tập hợp các số phức được ký hiệu là C và bao gồm các số thực R và các số ảo Im. Các bộ số được biểu diễn trong một biểu đồ Venn, như thể hiện trong hình sau:

Hình 2. Biểu đồ Venn của các bộ số. Nguồn: F. Zapata.

-Tất cả số phức đều bao gồm một phần thực và một phần ảo.

-Khi phần ảo của số phức bằng 0 thì nó là số thực thuần túy.

-Nếu phần thực của số phức bằng 0 thì số đó là ảo thuần túy.

-Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.

-Với số phức, người ta thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, tích, tích đã biết để tạo ra một số phức khác.

Biểu diễn số phức

Số phức có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau. Đây là những cái chính:

- Dạng nhị thức

Đây là dạng đã cho ở đầu, trong đó z là số phức, a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo:

Hoặc cũng có thể:

Một cách để vẽ đồ thị số phức là thông qua mặt phẳng phức được thể hiện trong hình này. Trục ảo Im là thẳng đứng, trong khi trục thực nằm ngang và được ký hiệu là Re.

Số phức z được biểu diễn trong mặt phẳng này dưới dạng một điểm có tọa độ (x, y) hoặc (a, b), giống như nó được thực hiện với các điểm của mặt phẳng thực.

Khoảng cách từ điểm gốc đến điểm z là môđun của số phức, ký hiệu là r, trong khi φ là góc mà r tạo với trục thực.

Hình 3. Biểu diễn một số phức trong mặt phẳng phức. Nguồn: Wikimedia Commons.

Biểu diễn này liên quan chặt chẽ đến biểu diễn của vectơ trong mặt phẳng thực. Giá trị của r tương ứng với môđun của số phức.

- Hình dạng cực

Dạng cực bao gồm việc biểu diễn số phức bằng cách cho các giá trị của r và của φ. Nếu chúng ta nhìn vào hình bên, giá trị của r tương ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông. Các chân có giá trị là a và b, hoặc x và y.

Từ dạng nhị thức hoặc nhị thức, chúng ta có thể chuyển sang dạng cực bằng cách:

Góc φ là góc tạo bởi đoạn thẳng r với trục hoành hoặc trục ảo. Nó được gọi là đối số số phức. Theo cách này:

Đối số có giá trị vô hạn, có tính đến rằng mỗi lần quay một lượt, có giá trị 2π radian, thì r lại chiếm cùng một vị trí. Theo cách tổng quát này, đối số của z, ký hiệu là Arg (z), được biểu diễn như sau:

Trong đó k là một số nguyên và được dùng để chỉ số lần quay: 2, 3, 4…. Dấu hiệu cho biết chiều quay, nếu nó là chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.

Hình 4. Biểu diễn cực của một số phức trong mặt phẳng phức. Nguồn: Wikimedia Commons.

Và nếu muốn chuyển từ dạng cực về dạng nhị thức, ta sử dụng các tỉ số lượng giác. Từ hình trước, chúng ta có thể thấy rằng:

x = r cos φ

y = r sin φ

Theo cách này z = r (cos φ + i sin φ)

Được viết tắt như thế này:

z = r cis φ

Ví dụ về số phức

Các số phức sau đây được cho ở dạng nhị thức:

a) 3 + i

B 4

d) -6i

Và những thứ này ở dạng một cặp có thứ tự:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Cuối cùng, nhóm này được đưa ra dưới dạng cực hoặc lượng giác:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Chúng để làm gì?

Tính hữu dụng của số phức còn vượt xa việc giải phương trình bậc hai được trình bày ở phần đầu, vì chúng rất cần thiết trong lĩnh vực kỹ thuật và vật lý, đặc biệt là trong:

-Nghiên cứu về sóng điện từ

-Phân tích dòng điện xoay chiều và hiệu điện thế

-Mô hình hóa tất cả các loại tín hiệu

- Thuyết tương đối, trong đó thời gian được giả định là một độ lớn tưởng tượng.

Phép toán số phức

Với số phức, chúng ta có thể thực hiện tất cả các phép toán được thực hiện với số thực. Một số dễ thực hiện hơn nếu các số ở dạng nhị thức, chẳng hạn như phép cộng và phép trừ. Ngược lại, phép nhân và phép chia sẽ đơn giản hơn nếu chúng được thực hiện với dạng phân cực.

Hãy xem một số ví dụ:

- Ví dụ 1

Thêm z ₁ = 2 + 5i và z ₂ = -3 -8i

Giải pháp

Các phần thực được thêm vào riêng biệt với các phần tưởng tượng:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Ví dụ 2

Nhân z ₁ = 4 cis 45º và z ₂ = 5 cis 120º

Giải pháp

Có thể chứng minh rằng tích của hai số phức ở dạng cực hoặc lượng giác được cho bởi:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Theo điều này:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Ứng dụng

Một ứng dụng đơn giản của số phức là tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đa thức giống như ở đầu bài viết.

Trong trường hợp của phương trình x ² - 10x + 34 = 0, áp dụng công thức giải chúng ta thu được:

Do đó, các giải pháp là:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Người giới thiệu

1. Earl, R. Số phức. Đã khôi phục từ: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Toán học 1. Đa dạng. Ấn bản CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Tuyển chọn các chủ đề Toán học. Ấn phẩm Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Đại số. Sảnh Prentice.
5. Wikipedia. Số phức. Khôi phục từ: en.wikipedia.org