DÃY BẬC HAI: VÍ DỤ, QUY TẮC VÀ CÁC BÀI TẬP ĐÃ GIẢI - TOÁN HỌC - 2025

Theo thuật ngữ toán học, các thành phần bậc hai bao gồm các dãy số tuân theo một quy tắc số học nhất định. Thật thú vị khi biết quy tắc này để xác định bất kỳ số hạng nào của một dãy số.

Một cách để làm điều này là xác định sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp và xem liệu giá trị thu được có luôn lặp lại hay không. Khi trường hợp này xảy ra, nó được cho là một chuỗi thường xuyên.

Chuỗi số là một cách sắp xếp các chuỗi số. Nguồn: pixabay.com

Nhưng nếu nó không tự lặp lại, thì bạn có thể thử kiểm tra sự khác biệt giữa các chênh lệch và xem giá trị này có không đổi. Nếu vậy, thì nó là một dãy bậc hai .

Ví dụ về trình tự thông thường và trình tự bậc hai

Các ví dụ sau giúp làm rõ những gì đã được giải thích cho đến nay:

Ví dụ về kế thừa thường xuyên

Cho dãy số S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Dãy số này, được ký hiệu là S, là một tập hợp số vô hạn, trong trường hợp này là các số nguyên.

Có thể thấy rằng đó là một dãy đều đặn, bởi vì mỗi số hạng có được bằng cách thêm 3 vào số hạng hoặc phần tử trước đó:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Nói cách khác: dãy số này đều đặn bởi vì hiệu số giữa số hạng sau và số hạng trước cho một giá trị cố định. Trong ví dụ đã cho, giá trị này là 3.

Các dãy số thông thường có được bằng cách thêm một số lượng cố định vào số hạng trước đó cũng được gọi là cấp số cộng. Và sự khác biệt - tương đương - giữa các số hạng liên tiếp được gọi là tỷ số và được ký hiệu là R.

Ví dụ về dãy không đều và dãy bậc hai

Xem ngay chuỗi sau:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Khi các hiệu số liên tiếp được tính, các giá trị sau thu được:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Sự khác biệt của chúng không phải là hằng số, vì vậy có thể nói rằng nó là một chuỗi KHÔNG đều đặn.

Tuy nhiên, nếu chúng ta xem xét tập hợp các điểm khác biệt, chúng ta có một chuỗi khác, sẽ được ký hiệu là S _{khác biệt} :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Dãy mới này thực sự là một dãy thông thường, vì mỗi số hạng có được bằng cách cộng giá trị cố định R = 2 vào giá trị trước đó. Chính vì vậy ta có thể khẳng định S là một dãy bậc hai.

Quy tắc chung để xây dựng một dãy bậc hai

Có một công thức chung để xây dựng một dãy bậc hai:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Trong công thức này, T _n là số hạng ở vị trí n của dãy. A, B và C là các giá trị cố định, trong khi n thay đổi lần lượt, nghĩa là 1, 2, 3, 4, …

Trong dãy S của ví dụ trước A = 1, B = 1 và C = 0. Từ đó suy ra công thức tạo ra tất cả các số hạng là: T _n = n ² + n

Điều đó có nghĩa là:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Sự khác biệt giữa hai số hạng liên tiếp của một dãy bậc hai

T _{n + 1} - T _n = -

Phát triển biểu hiện thông qua sản phẩm đáng chú ý vẫn là:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Bằng cách đơn giản hóa nó, bạn nhận được:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Đây là công thức cung cấp chuỗi các điểm khác biệt S _Dif có thể được viết như sau:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Trong đó số hạng tiếp theo rõ ràng là 2 ∙ Đôi khi là số hạng trước đó. Đó là, tỷ số giữa chuỗi các sự khác biệt S _diff là: R = 2 ∙ A.

Các bài toán đã giải của dãy bậc hai

Bài tập 1

Cho dãy số S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Xác định xem:

i) Nó có thường xuyên hay không

ii) Nó có bậc hai hay không

iii) Nó là bậc hai, chuỗi khác biệt và tỷ lệ của chúng

Câu trả lời

i) Hãy tính sự khác biệt giữa các điều khoản sau và các điều khoản trước:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Chúng ta có thể khẳng định rằng dãy số S là không đều, vì hiệu giữa các số hạng liên tiếp không phải là hằng số.

ii) Dãy số khác biệt là chính quy, vì hiệu số giữa các số hạng của nó là giá trị không đổi 2. Do đó, dãy số ban đầu S là bậc hai.

iii) Chúng ta đã xác định rằng S là bậc hai, dãy số chênh lệch là:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} và tỉ số của nó là R = 2.

Bài tập 2

Cho dãy S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} từ ví dụ trước, nơi nó đã được xác minh rằng nó là bậc hai. Mục đích:

i) Công thức xác định số hạng tổng quát T _n.

ii) Kiểm tra các điều khoản thứ ba và thứ năm.

iii) Giá trị của số hạng thứ mười.

Câu trả lời

i) Công thức tổng quát của T _n là A ∙ n ² + B ∙ n + C. Sau đó, nó vẫn còn để biết các giá trị của A, B và C.

Dãy số sai khác có tỷ lệ 2. Hơn nữa, đối với bất kỳ dãy bậc hai nào, tỷ số R là 2 ∙ A như đã trình bày trong các phần trước.

R = 2 ∙ A = 2 dẫn đến kết luận rằng A = 1.

Số hạng đầu tiên của dãy sai khác S _Dif là 2 và phải thỏa mãn A ∙ (2n + 1) + B, với n = 1 và A = 1, nghĩa là:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

giải B ta thu được: B = -1

Khi đó số hạng đầu tiên của S (n = 1) có giá trị là 1, nghĩa là: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Như ta đã biết A = 1 và B = -1, thay vào ta có:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Giải C ta thu được giá trị của nó: C = 1.

Tóm tắt:

A = 1, B = -1 và C = 1

Khi đó số hạng thứ n sẽ là T _n = n ² - n + 1

ii) Số hạng thứ ba T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 và nó được xác nhận. T thứ năm ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 cũng được xác minh.

iii) Số hạng thứ mười sẽ là T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Bài tập 3

Trình tự các khu vực cho Bài tập 3. Nguồn: xây dựng riêng.

Hình vẽ cho thấy một chuỗi năm hình. Mạng tinh thể biểu thị đơn vị độ dài.

i) Xác định trình tự cho diện tích của các hình.

ii) Chứng tỏ rằng nó là một dãy bậc hai.

iii) Tìm diện tích của Hình # 10 (không được hiển thị).

Câu trả lời

i) Dãy S ứng với diện tích của dãy hình là:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }

ii) Dãy tương ứng với các hiệu liên tiếp của các số hạng của S là:

S _khác = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

Vì hiệu số giữa các số hạng liên tiếp không phải là hằng số nên S không phải là một dãy chính quy. Vẫn phải biết liệu nó có phải là bậc hai hay không, mà chúng ta thực hiện lại chuỗi các sai khác, thu được:

{2, 2, 2, …….}

Vì tất cả các số hạng của dãy lặp lại, nên khẳng định rằng S là dãy bậc hai.

iii) Dãy S _dif đều và tỉ số R bằng 2. Sử dụng phương trình trên R = 2 ∙ A, nó vẫn là:

2 = 2 ∙ A, nghĩa là A = 1.

Số hạng thứ hai của dãy sai khác S _Dif là 4 và số hạng thứ n của S _Dif là

A ∙ (2n + 1) + B.

Số hạng thứ hai có n = 2. Ngoài ra, nó đã được xác định rằng A = 1, vì vậy sử dụng phương trình trước đó và thay thế, chúng ta có:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Giải B ta thu được: B = -1.

Biết rằng số hạng thứ hai của S có giá trị là 2 và nó phải hoàn thành công thức của số hạng tổng quát với n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Điều đó có nghĩa là

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Kết luận rằng C = 0, nghĩa là công thức cung cấp số hạng tổng quát của dãy S là:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Bây giờ thuật ngữ thứ năm được xác minh:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Hình # 10, chưa được vẽ ở đây, sẽ có diện tích tương ứng với số hạng thứ mười của dãy S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Người giới thiệu

1. https://www.geogebra.org