- Công thức và thuộc tính
- Khu vực dưới đường cong
- Bài tập đã giải
- - Bài tập 1
- Giải pháp
- - Bài tập 2
- Giải pháp
- Người giới thiệu
Tổng Riemann là tên được đặt cho phép tính gần đúng của một tích phân xác định, bằng một phép tổng rời rạc với một số hạng hữu hạn. Một ứng dụng phổ biến là tính gần đúng diện tích của các hàm số trên đồ thị.
Chính nhà toán học người Đức Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) là người đầu tiên đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về tích phân của một hàm trong một khoảng nhất định. Ông đã làm cho nó được biết đến trong một bài báo xuất bản năm 1854.
Hình 1. Tổng Riemann được xác định trên một hàm f và trên một phân hoạch trong khoảng. Nguồn: Fanny Zapata.
Tổng Riemann được xác định trên một hàm y = f (x), với x thuộc khoảng đóng. Trong khoảng thời gian này, một phân hoạch P gồm n phần tử được tạo ra:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Điều này có nghĩa là khoảng thời gian được chia như sau:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Hình 1 cho thấy bằng đồ thị tổng Riemann của hàm f trong khoảng trên một phân hoạch gồm bốn khoảng con, các hình chữ nhật màu xám.
Tổng đại diện cho tổng diện tích của các hình chữ nhật và kết quả của tổng này xấp xỉ bằng số với diện tích dưới đường cong f, giữa abscissa x = x 0 và x = x 4 .
Tất nhiên, sự gần đúng với diện tích dưới đường cong cải thiện đáng kể khi số n phân vùng lớn hơn. Theo cách này, tổng hội tụ đến vùng dưới đường cong, khi số n phân vùng có xu hướng đến vô cùng.
Công thức và thuộc tính
Tổng Riemann của hàm f (x) trên phân hoạch:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Được xác định trong khoảng thời gian, nó được cho bởi:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Trong đó t k là một giá trị trong khoảng. Trong tổng Riemann, các khoảng đều đặn có độ rộng Δx = (b - a) / n thường được sử dụng, trong đó a và b là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của abscissa, trong khi n là số phân thức.
Trong trường hợp đó, tổng phải Riemann là:
Sd (f, n) = * Δx
Hình 2. Tổng phải Riemann. Nguồn: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Trong khi tổng bên trái Riemann được biểu thị bằng:
Nếu (f, n) = * Δx
Hình 3. Tổng Riemann trái. Nguồn: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Cuối cùng tổng Riemann trung tâm là:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Hình 4. Tổng Riemann trung gian. Nguồn: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Tùy thuộc vào vị trí của điểm t k trong khoảng, tổng Riemann có thể đánh giá cao hơn hoặc thấp hơn giá trị chính xác của diện tích dưới đường cong của hàm y = f (x). Nói cách khác, các hình chữ nhật có thể nhô ra khỏi đường cong hoặc ở dưới nó một chút.
Khu vực dưới đường cong
Tính chất chính của tổng Riemann và từ đó suy ra tầm quan trọng của nó, là nếu số lượng các phân thức có xu hướng đến vô cùng, kết quả của tổng hội tụ thành tích phân xác định của hàm:
Bài tập đã giải
- Bài tập 1
Tính giá trị của tích phân xác định từ a = -2 đến b = +2 của hàm số:
f (x) = x 2
Sử dụng tổng Riemann. Để làm điều này, trước tiên hãy tìm tổng cho n phân hoạch thông thường của khoảng thời gian và sau đó lấy giới hạn toán học cho trường hợp số phân hoạch có xu hướng đến vô cùng.
Giải pháp
Đây là các bước để làm theo:
-Trước tiên, khoảng thời gian phân vùng được định nghĩa là:
Δx = (b - a) / n.
-Vậy tổng Riemann ở bên phải tương ứng với hàm f (x) có dạng như sau:
-Và sau đó nó được thay thế cẩn thận trong phần tổng kết:
-Bước tiếp theo là tách các tổng và lấy các đại lượng không đổi làm nhân tử chung của mỗi tổng. Cần lưu ý rằng chỉ số là i, do đó các số và số hạng với n được coi là không đổi:
-Mỗi tổng được ước lượng, vì với mỗi tổng có các biểu thức thích hợp. Ví dụ, số đầu tiên của tổng cho ra n:
-Cuối cùng, tích phân cần tính là:
Người đọc có thể kiểm tra xem đây có phải là kết quả chính xác hay không bằng cách giải tích phân bất định và đánh giá các giới hạn của tích phân theo quy tắc Barrow.
- Bài tập 2
Xác định gần đúng diện tích của hàm:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (-x 2 /2)
Nhập x = -1 và x = + 1, sử dụng tổng Riemann trung tâm với 10 phân vùng. So sánh với kết quả chính xác và ước tính chênh lệch phần trăm.
Giải pháp
Bước hoặc số gia giữa hai giá trị rời rạc liên tiếp là:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Vì vậy, phân vùng P mà các hình chữ nhật được xác định trông như thế này:
P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}
Nhưng vì những gì muốn là tổng trung tâm, hàm f (x) sẽ được đánh giá tại điểm giữa của các khoảng con, nghĩa là trong tập hợp:
T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.
Tổng Riemann (trung tâm) trông giống như sau:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Vì hàm f là đối xứng nên có thể rút gọn tổng chỉ còn 5 số hạng và kết quả là nhân với hai:
S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}
S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683
Chức năng được đưa ra trong ví dụ này không phải là chức năng nào khác hơn là chuông Gaussian nổi tiếng (chuẩn hóa, với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn là một). Diện tích dưới đường cong trong khoảng của hàm này là 0,6827.
Hình 5. Diện tích bên dưới chuông Gaussian được tính gần đúng bằng tổng Riemann. Nguồn: F. Zapata.
Điều này có nghĩa là lời giải gần đúng chỉ với 10 số hạng khớp với lời giải chính xác đến ba chữ số thập phân. Sai số phần trăm giữa tích phân gần đúng và chính xác là 0,07%.
Người giới thiệu
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Phép tính tích phân (Bản minh họa). Madrid: Tòa soạn ESIC.
- Kỳ lân. Lịch sử của khái niệm tích phân. Được khôi phục từ: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann tính tổng. Được khôi phục từ: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Riemann tổng. Phục hồi từ: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Tích hợp Riemann. Phục hồi từ: es.wikipedia.com