TỔNG KẾT VỀ KÍNH THIÊN VĂN: CÁCH GIẢI VÀ CÁC BÀI TẬP ĐƯỢC GIẢI - TOÁN HỌC - 2025

Các tổng kính thiên văn là một hoạt động chi nhánh số series. Nó xử lý tổng các phần tử từ một giá trị ban đầu đến "n" của các biểu thức có đối số tuân theo bất kỳ mẫu nào sau đây:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Cũng như:

Nguồn: Pixabay.com

Chúng đại diện cho tổng hợp các yếu tố mà khi được phát triển, sẽ bị hủy bỏ bởi các thuật ngữ đối lập. Làm cho nó có thể xác định đẳng thức sau cho các tổng kết kính thiên văn:

Tên của nó xuất phát từ mối quan hệ với sự xuất hiện của một kính thiên văn cổ điển, có thể gấp lại và mở ra, đáng chú ý là thay đổi kích thước của nó. Theo cách tương tự, các phép tổng kết qua kính thiên văn, có bản chất là vô hạn, có thể được tóm tắt trong biểu thức đơn giản:

F ₁ - F _{n + 1}

Trình diễn

Khi phát triển tổng kết các điều khoản, việc loại bỏ các yếu tố là khá rõ ràng. Trong đó đối với mỗi trường hợp, các phần tử đối lập sẽ xuất hiện trong lần lặp tiếp theo.

Trường hợp đầu tiên, (F _x - F _{x + 1} ), sẽ được lấy làm ví dụ , vì quá trình hoạt động theo cách tương đồng đối với (F _{x + 1} –F _x ).

Phát triển 3 giá trị đầu tiên {1, 2, 3} theo xu hướng đơn giản hóa

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Trường hợp khi biểu thị tổng các phần tử được mô tả:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Quan sát thấy rằng các thuật ngữ F ₂ và F ₃ được mô tả cùng với các mặt đối lập của chúng, điều này làm cho việc đơn giản hóa chúng là không thể tránh khỏi. Theo cách tương tự, quan sát thấy rằng các điều khoản F ₁ và F ₄ được duy trì.

Nếu tổng được lập từ x = 1 đến x = 3, có nghĩa là phần tử F ₄ tương ứng với số hạng chung F _{n + 1.}

Do đó thể hiện sự bình đẳng:

Nó được giải quyết như thế nào?

Mục đích của các tóm tắt qua kính thiên văn là để tạo điều kiện thuận lợi cho công việc, để không cần thiết phải phát triển vô số thuật ngữ, hoặc đơn giản hóa một số chuỗi phụ đề quá dài.

Đối với độ phân giải của nó, chỉ cần đánh giá các điều kiện F ₁ và F _{n + 1} . Những sự thay thế đơn giản này tạo nên kết quả cuối cùng của tổng kết.

Tổng của các điều khoản sẽ không được biểu thị, chỉ trở nên cần thiết cho việc chứng minh kết quả, nhưng không cần thiết cho quá trình tính toán thông thường.

Điều quan trọng là để ý sự hội tụ của dãy số. Đôi khi, đối số tổng kết sẽ không được thể hiện theo phương pháp thiên văn. Trong những trường hợp này, việc thực hiện các phương pháp bao thanh toán thay thế là rất phổ biến.

Phương pháp nhân tử hóa đặc trưng trong phép cộng kính thiên văn là phương pháp phân số đơn giản. Điều này xảy ra khi một phân số ban đầu được phân tách thành tổng của một số phân số, trong đó có thể quan sát thấy mẫu kính thiên văn (F _x - F _{x + 1} ) hoặc (F _{x + 1} - F _x ).

Phân tích thành các phân số đơn giản

Để xác minh sự hội tụ của chuỗi số, rất phổ biến là biến đổi các biểu thức hữu tỉ bằng phương pháp phân số đơn giản. Mục đích là mô hình hóa cốt truyện thành hình dạng của một tổng kết bằng kính thiên văn.

Ví dụ, đẳng thức sau biểu diễn một phép chia thành các phân số đơn giản:

Khi khai triển dãy số và áp dụng các tính chất tương ứng, biểu thức có dạng sau:

Trường hợp hình dạng kính thiên văn được đánh giá cao (F _x - F _{x + 1} ).

Quy trình này khá trực quan và bao gồm việc tìm các giá trị của tử số mà không phá vỡ sự bình đẳng, cho phép chúng ta tách các tích tìm được ở mẫu số. Các phương trình nảy sinh trong việc xác định các giá trị này, được nâng lên theo sự so sánh giữa cả hai vế của đẳng thức.

Quy trình này được quan sát từng bước trong quá trình phát triển của bài tập 2.

Lịch sử

Khá không chắc chắn để có thể xác định thời điểm lịch sử mà trong đó các tổng kết qua kính thiên văn được trình bày. Tuy nhiên, việc triển khai nó bắt đầu được nhìn thấy vào thế kỷ XVII, trong các nghiên cứu về chuỗi số do Leibniz và Huygens thực hiện.

Cả hai nhà toán học, khi khám phá tính tổng của các số tam giác, đều bắt đầu nhận thấy xu hướng hội tụ của một số chuỗi phần tử liên tiếp. Nhưng thú vị hơn nữa là sự khởi đầu của mô hình hóa các biểu thức này, trong các yếu tố không nhất thiết phải tuân theo nhau.

Trên thực tế, biểu thức được sử dụng trước đây để chỉ các phân số đơn giản:

Nó được giới thiệu bởi Huygens và ngay lập tức thu hút sự chú ý của Leibniz. Ai theo thời gian có thể quan sát sự hội tụ đến giá trị 2. Mà không cần biết điều đó, anh ta đã thực hiện định dạng tổng kết bằng kính thiên văn.

Bài tập

Bài tập 1

Xác định xem tổng sau đây hội tụ với số hạng nào:

Khi khai triển tổng theo cách thủ công, mô hình sau được quan sát thấy:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Khi các yếu tố từ 2 ⁴ đến 2 ¹⁰ thể hiện phần tích cực và tiêu cực, làm cho sự hủy bỏ của chúng trở nên rõ ràng. Khi đó, các yếu tố duy nhất không được đơn giản hóa sẽ là “2 ³ ” đầu tiên và “2 ¹¹ ” cuối cùng .

Bằng cách này, khi thực hiện tiêu chí tổng kết của kính thiên văn, chúng ta thu được:

Bài tập 2

Chuyển đối số thành một tổng kết kiểu kính thiên văn và xác định sự hội tụ của chuỗi:

Như đã chỉ ra trong tuyên bố, điều đầu tiên cần làm là phân tích thành các phân số đơn giản, để trình bày lại đối số và diễn đạt nó theo cách kính thiên văn.

Bạn phải tìm 2 phân số có mẫu số tương ứng là "n" và "n + 1", trong đó phương pháp được sử dụng dưới đây phải nhận được các giá trị của tử số thỏa mãn đẳng thức.

Ta tiến hành xác định giá trị của A và B. Đầu tiên, cộng các phân số.

Sau đó, các mẫu số được đơn giản hóa và một phương trình tuyến tính được thiết lập.

Trong bước tiếp theo, biểu thức ở bên phải được vận hành, cho đến khi đạt được mẫu có thể so sánh với “3” ở bên trái.

Để xác định các phương trình được sử dụng, kết quả của cả hai vế của đẳng thức phải được so sánh. Tức là, không có giá trị nào của biến n được quan sát ở phía bên trái, vì vậy A + B sẽ phải bằng không.

A + B = 0; A = -B

Mặt khác, giá trị không đổi A sẽ phải bằng giá trị không đổi 3.

A = 3

Như vậy.

A = 3 và B = -3

Khi các giá trị tử số của các phân số đơn giản đã được xác định, thì phép tính tổng sẽ được tính lại.

Nơi mà dạng tổng quát của kính thiên văn đã đạt được. Loạt kính thiên văn được phát triển.

Trường hợp khi chia cho một số rất lớn kết quả sẽ ngày càng gần bằng 0, quan sát sự hội tụ của dãy số về giá trị 3.

Loại chuỗi này không thể được giải theo bất kỳ cách nào khác, do số lần lặp lại vô hạn xác định vấn đề. Tuy nhiên, phương pháp này cùng với nhiều phương pháp khác đóng khung nhánh nghiên cứu của chuỗi số, với mục tiêu là xác định các giá trị hội tụ hoặc xác định sự phân kỳ của chuỗi số nói trên.

Người giới thiệu

1. Các bài học về phép tính vô số. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Phép tính Tích phân: Chuỗi và Chuỗi hàm. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 tháng 10. 2014.
3. Một khóa học về Giải tích và Phân tích Thực tế. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, ngày 5 tháng 6. Năm 2006.
4. Chuỗi vô tận. Pháo đài Tomlinson. Nhà xuất bản Clarendon, năm 1930.
5. Các yếu tố của lý thuyết về các quá trình vô hạn. Lloyd Leroy Smail. Công ty sách McGraw-Hill, được thành lập, năm 1923.