- Chức năng như Dòng điện
- Chuỗi lũy thừa hình học
- Cách tìm khai triển chuỗi lũy thừa của một hàm
- Tập thể dục
- - Bài tập đã giải 1
- Giải pháp
- - Bài tập đã giải 2
- Giải pháp
- Bước 1
- Bước 2
- Bước 3
- Bước 4
- Người giới thiệu
Một loạt điện bao gồm một tổng kết các điều khoản dưới hình thức quyền hạn của biến x, hoặc tổng quát hơn, các xc, trong đó c là một số thực không đổi. Trong ký hiệu tóm tắt, một loạt các quyền hạn được biểu thị như sau:
Trong đó các hệ số a o , a 1 , a 2 … là các số thực và chuỗi bắt đầu từ n = 0.
Hình 1. Định nghĩa chuỗi lũy thừa. Nguồn: F. Zapata.
Chuỗi này tập trung vào giá trị c là hằng số, nhưng bạn có thể chọn c bằng 0, trong trường hợp đó chuỗi lũy thừa đơn giản hóa thành:
Chuỗi bắt đầu bằng a hoặc (xc) 0 và a hoặc x 0 tương ứng. Nhưng chúng tôi biết rằng:
(xc) 0 = x 0 = 1
Do đó a o (xc) 0 = a hoặc x 0 = a o (số hạng độc lập)
Điều tốt về dòng điện là các chức năng có thể được thể hiện với chúng và điều này có nhiều lợi thế, đặc biệt nếu bạn muốn làm việc với một chức năng phức tạp.
Trong trường hợp này, thay vì sử dụng trực tiếp hàm, hãy sử dụng mở rộng chuỗi lũy thừa của nó, có thể dễ dàng hơn để lấy, tích hợp hoặc làm việc theo số.
Tất nhiên tất cả mọi thứ được điều kiện để hội tụ của bộ truyện. Một chuỗi hội tụ khi thêm một số lượng lớn các số hạng cho một giá trị cố định. Và nếu chúng tôi vẫn thêm các điều khoản, chúng tôi tiếp tục nhận được giá trị đó.
Chức năng như Dòng điện
Ví dụ về một hàm được biểu thị dưới dạng chuỗi lũy thừa, hãy lấy f (x) = e x .
Chức năng này có thể được thể hiện dưới dạng một loạt các quyền hạn như sau:
và x ≈ 1 + x + (x 2 /2!) + (x 3 /3!) + (x 4 /4!) + (x 5 /5!) + …
Ở đâu! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… và nó nhận 0! = 1.
Chúng tôi sẽ kiểm tra với sự trợ giúp của máy tính, xem chuỗi số có thực sự trùng khớp với hàm đã cho rõ ràng hay không. Ví dụ, hãy bắt đầu bằng cách tạo x = 0.
Chúng ta biết rằng e 0 = 1. Hãy xem chuỗi này làm gì:
và 0 ≈ 1 + 0 + (0 2 /2!) + (0 3 /3!) + (0 4 /4!) + (0 5 /5!) + … = 1
Và bây giờ hãy thử x = 1. Một máy tính trả về e 1 = 2.71828, và sau đó hãy so sánh với chuỗi:
và 1 ≈ 1 + 1 + (1 2 /2!) + (1 3 /3!) + (1 4 /4!) + (1 5 /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167
Chỉ với 5 điều khoản, chúng tôi đã có một kết quả khớp chính xác trong e ≈ 2,71. Chuỗi của chúng tôi chỉ còn một chút nữa để đi, nhưng khi nhiều thuật ngữ được thêm vào, chuỗi chắc chắn hội tụ đến giá trị chính xác của e. Biểu diễn chính xác khi n → ∞.
Nếu phân tích trước đó được lặp lại với n = 2, các kết quả rất giống nhau sẽ thu được.
Bằng cách này, chúng ta chắc chắn rằng hàm mũ f (x) = e x có thể được biểu diễn bằng chuỗi lũy thừa sau:
Hình 2. Trong hình ảnh động này, chúng ta có thể thấy cách chuỗi lũy thừa tiến gần đến hàm mũ hơn khi có nhiều số hạng hơn. Nguồn: Wikimedia Commons.
Chuỗi lũy thừa hình học
Hàm f (x) = e x không phải là hàm duy nhất hỗ trợ biểu diễn chuỗi lũy thừa. Ví dụ, hàm f (x) = 1/1 - x trông rất giống chuỗi hình học hội tụ nổi tiếng:
Chỉ cần thực hiện a = 1 và r = x là đủ để thu được một chuỗi phù hợp với hàm này, có tâm là c = 0:
Tuy nhiên, biết rằng chuỗi này là hội tụ cho forr│ <1, do đó biểu diễn chỉ có giá trị trong khoảng (-1,1), mặc dù hàm hợp lệ với mọi x, ngoại trừ x = 1.
Khi bạn muốn xác định chức năng này trong một phạm vi khác, bạn chỉ cần tập trung vào một giá trị phù hợp là xong.
Cách tìm khai triển chuỗi lũy thừa của một hàm
Bất kỳ hàm nào cũng có thể được phát triển trong một chuỗi lũy thừa có trọng tâm là c, miễn là nó có các đạo hàm của tất cả các bậc tại x = c. Quy trình sử dụng định lý sau, được gọi là định lý Taylor:
Gọi f (x) là một hàm có đạo hàm bậc n, ký hiệu là f (n) , thừa nhận một chuỗi các lũy thừa trên khoảng I. Sự phát triển nối tiếp của ông về Taylor là:
Vậy nên:
Trong đó R n , là số hạng thứ n của chuỗi, được gọi là phần dư:
Khi c = 0, chuỗi được gọi là chuỗi Maclaurin.
Chuỗi này được đưa ra ở đây giống với chuỗi đã cho ở đầu, chỉ là bây giờ chúng ta có một cách để tìm rõ ràng các hệ số của mỗi số hạng, được cho bởi:
Tuy nhiên, chúng ta phải đảm bảo rằng chuỗi hội tụ đến hàm được biểu diễn. Điều xảy ra là không phải mọi chuỗi Taylor nhất thiết hội tụ đến f (x) đã được nghĩ đến khi tính các hệ số tại n .
Điều này xảy ra bởi vì có lẽ các đạo hàm của hàm, được đánh giá tại x = c, trùng với cùng một giá trị của các đạo hàm của một hàm khác, cũng tại x = c. Trong trường hợp này, các hệ số sẽ giống nhau, nhưng sự phát triển sẽ không rõ ràng vì không chắc nó tương ứng với hàm nào.
May mắn thay, có một cách để biết:
Tiêu chí hội tụ
Để tránh sự mơ hồ, nếu R n → 0 as n → ∞ với mọi x trong khoảng I thì chuỗi hội tụ về f (x).
Tập thể dục
- Bài tập đã giải 1
Tìm chuỗi lũy thừa hình học của hàm số f (x) = 1/2 - x có tâm tại c = 0.
Giải pháp
Hàm đã cho phải được biểu diễn sao cho nó trùng khớp với 1 / 1- x càng tốt, mà dãy số của nó đã biết. Vì vậy, hãy viết lại tử số và mẫu số, mà không làm thay đổi biểu thức ban đầu:
1/2 - x = (1/2) /
Vì ½ là hằng số, nó nằm ngoài tổng và nó được viết dưới dạng biến mới x / 2:
Lưu ý rằng x = 2 không thuộc miền của hàm, và theo tiêu chí hội tụ được đưa ra trong phần Chuỗi Công suất Hình học, khai triển hợp lệ với │x / 2│ <1 hoặc tương đương -2 <x <2.
- Bài tập đã giải 2
Tìm 5 số hạng đầu tiên của khai triển chuỗi Maclaurin của hàm f (x) = sin x.
Giải pháp
Bước 1
Đầu tiên là các dẫn xuất:
- Đạo hàm bậc 0: hàm số f (x) = sin x đồng biến
- Đạo hàm bậc nhất: (sin x) ´ = cos x
- Đạo hàm cấp hai: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x
-Đạo hàm cấp ba: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x
- Đạo hàm bậc 4: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x
Bước 2
Sau đó, mỗi đạo hàm được đánh giá tại x = c, cũng như một khai triển Maclaurin, c = 0:
sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0
Bước 3
Các hệ số a n được xây dựng ;
a o = 0/0! = 0; a 1 = 1/1! = 1; a 2 = 0/2! = 0; a 3 = -1 / 3 !; a 4 = 0/4! = 0
Bước 4
Cuối cùng bộ truyện được lắp ráp theo:
sin x ≈ 0.x 0 + 1. x 1 + 0 .x 2 - (1/3!) x 3 + 0.x 4 … = x - (1/3!)) x 3 +…
Người đọc có cần thêm thuật ngữ không? Còn bao nhiêu cái nữa, dãy số gần với hàm hơn.
Lưu ý rằng có một mẫu trong các hệ số, số hạng khác 0 tiếp theo là số 5 và tất cả các số hạng có chỉ số lẻ cũng khác 0, xen kẽ các dấu sao cho:
sin x ≈ x - (1/3!)) x 3 + (1/5!)) x 5 - (1/7!)) x 7 +….
Nó còn lại như một bài tập để kiểm tra xem nó có hội tụ hay không, tiêu chí thương số có thể được sử dụng cho sự hội tụ của chuỗi.
Người giới thiệu
- Cơ sở CK-12. Power Series: biểu diễn các chức năng và hoạt động. Được khôi phục từ: ck12.org.
- Engler, A. 2019. Giải tích Tích phân. Đại học Quốc gia Litoral.
- Larson, R. 2010. Tính toán một biến. Ngày 9. Phiên bản. Đồi McGraw.
- Toán học Văn bản miễn phí. Chuỗi lũy thừa. Được khôi phục từ: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Chuỗi lũy thừa. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.