Các toán học rời rạc tương ứng với diện tích toán học đó là trách nhiệm nghiên cứu tập hợp các số tự nhiên; nghĩa là, tập hợp các số hữu hạn và vô hạn có thể đếm được trong đó các phần tử có thể được đếm riêng lẻ, từng phần tử một.

Những tập hợp này được gọi là tập hợp rời rạc; Ví dụ về các tập hợp này là số nguyên, đồ thị hoặc biểu thức logic và chúng được ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau, chủ yếu là khoa học máy tính hoặc máy tính.

Sự miêu tả

Trong toán học rời rạc, các quá trình có thể đếm được, chúng dựa trên các số nguyên. Điều này có nghĩa là số thập phân không được sử dụng và do đó, tính gần đúng hoặc giới hạn không được sử dụng, như trong các lĩnh vực khác. Ví dụ, một ẩn số có thể bằng 5 hoặc 6, nhưng không bao giờ là 4,99 hoặc 5,9.

Mặt khác, trong biểu diễn đồ họa, các biến sẽ rời rạc và được đưa ra từ một tập hợp hữu hạn các điểm, được tính từng điểm một, như thể hiện trong hình:

Toán học rời rạc phát sinh từ nhu cầu có được một nghiên cứu chính xác có thể được kết hợp và kiểm tra, để áp dụng nó trong các lĩnh vực khác nhau.

Toán học rời rạc để làm gì?

Toán học rời rạc được sử dụng trong nhiều lĩnh vực. Trong số những cái chính sau đây là:

Kết hợp

Nghiên cứu các tập hợp hữu hạn trong đó các phần tử có thể được sắp xếp theo thứ tự hoặc kết hợp và đếm.

Lý thuyết phân phối rời rạc

Nghiên cứu các sự kiện xảy ra trong không gian mà mẫu có thể đếm được, trong đó các phân bố liên tục được sử dụng để ước lượng các phân bố rời rạc, hoặc ngược lại.

Lý thuyết thông tin

Nó đề cập đến việc mã hóa thông tin, được sử dụng để thiết kế và truyền tải và lưu trữ dữ liệu, chẳng hạn như tín hiệu tương tự.

Tin học

Thông qua toán học rời rạc, các vấn đề được giải quyết bằng cách sử dụng các thuật toán, cũng như những gì có thể được tính toán và thời gian cần thiết để thực hiện nó (độ phức tạp).

Tầm quan trọng của toán học rời rạc trong lĩnh vực này đã tăng lên trong những thập kỷ gần đây, đặc biệt là đối với sự phát triển của các ngôn ngữ lập trình và phần mềm.

Mật mã học

Nó dựa trên toán học rời rạc để tạo cấu trúc bảo mật hoặc phương pháp mã hóa. Một ví dụ của ứng dụng này là mật khẩu, gửi các bit chứa thông tin riêng biệt.

Thông qua việc nghiên cứu các thuộc tính của số nguyên và số nguyên tố (lý thuyết về các số), các phương pháp bảo mật này có thể được tạo ra hoặc phá hủy.

Hợp lý

Các cấu trúc rời rạc, thường tạo thành một tập hữu hạn, được sử dụng để chứng minh các định lý hoặc, ví dụ, xác minh phần mềm.

Lý thuyết đồ thị

Nó cho phép giải quyết các vấn đề logic, sử dụng các nút và đường tạo thành một loại biểu đồ, như thể hiện trong hình ảnh sau:

Trong toán học có các tập hợp khác nhau nhóm các số nhất định theo đặc điểm của chúng. Vì vậy, ví dụ, chúng tôi có:

- Tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

- Tập hợp các số nguyên E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

- Tập con các số hữu tỉ Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- Tập hợp các số thực R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

Bộ được đặt tên bằng các chữ cái viết hoa của bảng chữ cái; trong khi các phần tử được đặt tên bằng chữ thường, bên trong dấu ngoặc nhọn ({}) và được phân tách bằng dấu phẩy (,). Chúng thường được biểu diễn trong các sơ đồ như của Venn và Caroll, cũng như về mặt tính toán.

Với các phép toán cơ bản như liên hiệp, giao nhau, bổ sung, khác biệt và tích Descartes, các tập hợp và phần tử của chúng được xử lý dựa trên quan hệ thành viên.

Có một số loại tập hợp, được nghiên cứu nhiều nhất trong toán học rời rạc như sau:

Tập hợp hữu hạn

Nó là một trong đó có một số phần tử hữu hạn và tương ứng với một số tự nhiên. Vì vậy, ví dụ, A = {1, 2, 3,4} là một tập hữu hạn có 4 phần tử.

Bộ kế toán vô hạn

Nó là một trong đó có sự tương ứng giữa các phần tử của một tập hợp và các số tự nhiên; có nghĩa là, từ một phần tử, tất cả các phần tử của một tập hợp có thể được liệt kê liên tiếp.

Theo cách này, mỗi phần tử sẽ tương ứng với mỗi phần tử của tập hợp các số tự nhiên. Ví dụ:

Tập hợp các số nguyên Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} có thể được liệt kê là Z = {0, 1, -1, 2, -2…}. Bằng cách này, có thể tạo ra sự tương ứng 1-1 giữa các phần tử của Z và các số tự nhiên, như có thể thấy trong hình sau: