ĐƯỜNG XIÊN: ĐẶC ĐIỂM, PHƯƠNG TRÌNH VÀ VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2025

Các đường xiên là những đường nghiêng, có thể so với bề mặt phẳng hoặc đường khác chỉ ra một địa chỉ cụ thể. Ví dụ, hãy xem xét ba đường thẳng được vẽ trong một mặt phẳng xuất hiện trong hình sau.

Chúng tôi biết vị trí tương đối của chúng vì chúng tôi so sánh chúng với một đường tham chiếu, thường là trục x biểu thị phương ngang.

Hình 1. Các đường thẳng đứng, ngang và xiên trong cùng một mặt phẳng. Nguồn: F. Zapata.

Theo cách này, chọn ngang làm tham chiếu, đường bên trái là thẳng đứng, đường ở giữa nằm ngang và đường ở bên phải xiên, vì nó nghiêng so với đường tham chiếu hàng ngày.

Bây giờ, các đường nằm trên cùng một mặt phẳng, chẳng hạn như bề mặt của tờ giấy hoặc màn hình, chiếm các vị trí khác nhau so với nhau, tùy thuộc vào việc chúng có giao nhau hay không. Trong trường hợp đầu tiên, chúng là các đường ly khai, trong khi trong trường hợp thứ hai, chúng là song song.

Mặt khác, các đường ly khai có thể là đường xiên hoặc đường vuông góc. Trong cả hai trường hợp, độ dốc của các đường thẳng khác nhau, nhưng các đường xiên tạo thành các góc α và β với nhau, khác 90º, trong khi các góc được xác định bởi các đường vuông góc luôn là 90º.

Hình sau đây tóm tắt các định nghĩa này:

Hình 2. Vị trí tương đối giữa các đường thẳng: song song, xiên và vuông góc khác nhau về góc mà chúng tạo thành với nhau. Nguồn: F. Zapata.

Phương trình

Để biết vị trí tương đối của các đường trong mặt phẳng, cần phải biết góc giữa chúng. Lưu ý rằng các dòng là:

Song song : nếu chúng có cùng hệ số góc (cùng hướng) và không bao giờ cắt nhau, do đó các điểm của chúng cách đều nhau.

Trùng : khi tất cả các điểm của nó trùng nhau và do đó có cùng hệ số góc, nhưng khoảng cách giữa các điểm của nó bằng không.

Máy sấy : nếu độ dốc của chúng khác nhau, khoảng cách giữa các điểm của chúng khác nhau và giao điểm là một điểm duy nhất.

Vì vậy, một cách để biết hai đường thẳng trong mặt phẳng là thẳng hàng hay song song là thông qua hệ số góc của chúng. Tiêu chí của độ song song và độ vuông góc của các đường là như sau:

Nếu biết hệ số góc của hai đường thẳng trong mặt phẳng không thỏa mãn tiêu chuẩn nào ở trên thì ta kết luận rằng đường thẳng xiên. Biết hai điểm trên một đường thẳng, hệ số góc được tính ngay lập tức, như chúng ta sẽ thấy trong phần tiếp theo.

Bạn có thể tìm xem hai đường thẳng là nhị thức hay song song bằng cách tìm giao điểm của chúng, giải hệ phương trình mà chúng tạo thành: nếu có nghiệm thì chúng là ẩn, nếu không có nghiệm thì chúng song song, còn nếu nghiệm là vô hạn thì các đường đó trùng nhau.

Tuy nhiên, tiêu chí này không cho chúng ta biết về góc giữa các đường này, ngay cả khi chúng cắt nhau.

Để biết góc giữa các đường thẳng, chúng ta cần hai vectơ u và v cùng thuộc về chúng. Do đó, có thể biết góc mà chúng tạo thành bằng tích vô hướng của các vectơ, được xác định theo cách này:

u • v = uvcos α

Phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng

Một đường trong mặt phẳng Descartes có thể được biểu diễn theo một số cách, chẳng hạn như:

- Dạng giao điểm: nếu m là hệ số góc của đường thẳng và b là giao điểm của đường thẳng với trục tung thì phương trình của đường thẳng là y = mx + b.

- Phương trình tổng quát của đường thẳng : Ax + By + C = 0, với m = A / B là hệ số góc.

Trong mặt phẳng Descartes, các đường thẳng đứng và ngang là các trường hợp cụ thể của phương trình đường thẳng.

- Đường thẳng đứng : x = a

- Đường ngang : y = k

Hình 3. Ở bên trái đường thẳng đứng x = 4 và đường thẳng nằm ngang y = 6. Ở bên phải một ví dụ về đường xiên. Nguồn: F. Zapata.

Trong các ví dụ ở hình 3, đường thẳng đứng màu đỏ có phương trình x = 4, đường thẳng song song với trục x (màu xanh lam) có phương trình y = 6. Đối với đường thẳng bên phải, chúng ta thấy nó xiên và để tìm phương trình của nó, chúng tôi sử dụng các điểm được đánh dấu trong hình: (0,2) và (4,0) theo cách này:

Hình cắt của đường thẳng này với trục tung là y = 2, có thể thấy trên đồ thị. Với thông tin này:

Xác định góc nghiêng so với trục x rất dễ dàng. Tôi cảm thấy rằng:

Do đó góc dương từ trục x đến đường thẳng là: 180º - 26,6º = 153,4º

Ví dụ về đường xiên

Hình 4. Các ví dụ về đường xiên. Nguồn: hàng rào Ian Patterson. Tháp nghiêng Pisa. Pixabay.

Đường xiên xuất hiện ở nhiều nơi, cần chú ý để tìm thấy chúng trong kiến ​​trúc, thể thao, hệ thống dây cấp điện, đường ống và nhiều nơi khác nữa. Trong tự nhiên, các đường xiên cũng có mặt, như chúng ta sẽ thấy bên dưới:

Tia sáng

Ánh sáng mặt trời truyền theo đường thẳng, nhưng hình dạng tròn của Trái đất ảnh hưởng đến cách ánh sáng mặt trời chiếu vào bề mặt.

Trong hình ảnh dưới đây, chúng ta có thể thấy rõ ràng rằng tia sáng mặt trời chiếu thẳng góc ở các vùng nhiệt đới, nhưng thay vào đó lại chiếu xiên vào bề mặt ở các vùng ôn đới và ở các cực.

Đây là lý do tại sao tia nắng mặt trời truyền một khoảng cách xa hơn qua bầu khí quyển và nhiệt cũng lan truyền trên một bề mặt lớn hơn (xem hình). Kết quả là các khu vực gần các cực lạnh hơn.

Hình 5. Các tia sáng mặt trời chiếu xiên ở vùng ôn đới và các cực, thay vào đó chúng vuông góc ít nhiều ở vùng nhiệt đới. Nguồn: Wikimedia Commons.

Các đường không nằm trong cùng một mặt phẳng

Khi hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng, chúng vẫn có thể xiên hoặc cong, như chúng ta đã biết. Trong trường hợp này, các vectơ giám đốc của chúng không song song, nhưng vì chúng không thuộc cùng một mặt phẳng nên các đường thẳng này không cắt nhau.

Ví dụ, các đường trong hình 6 bên phải rõ ràng nằm trong các mặt phẳng khác nhau. Nếu bạn nhìn chúng từ trên cao, bạn có thể thấy chúng giao nhau, nhưng chúng không có điểm chung. Ở bên phải, chúng ta thấy các bánh xe đạp, có các nan hoa dường như cắt ngang khi nhìn từ phía trước.

Hình 6. Các đường xiên thuộc các mặt phẳng khác nhau. Nguồn: trái F. Zapata, phải Pixabay.

Người giới thiệu

1. Hình học. Đạo diễn vector của một dòng. Được khôi phục từ: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Giải tích với Hình học Giải tích. Thứ 8. Phiên bản. Đồi McGraw.
3. Toán học là một trò chơi. Đường và Góc. Đã phục hồi từ: juntadeandalucia.es.
4. Các đường thẳng cắt nhau. Phục hồi từ: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Hình học phân tích trong R3. Được khôi phục từ: dspace.espol.edu.ec.