HẰNG SỐ BOLTZMANN: LỊCH SỬ, PHƯƠNG TRÌNH, GIẢI TÍCH, BÀI TẬP - VẬT LÝ - 2026

Các hằng số Boltzmann là giá trị có liên quan động năng trung bình của một hệ thống nhiệt động lực học hoặc một đối tượng với nhiệt độ tuyệt đối của giống nhau. Mặc dù chúng thường bị nhầm lẫn, nhiệt độ và năng lượng không phải là khái niệm giống nhau.

Nhiệt độ là một thước đo năng lượng, nhưng không phải là năng lượng chính nó. Với hằng số Boltzmann, chúng được liên kết với nhau theo cách sau:

Bia mộ của Boltzmann ở Vienna. Nguồn: Daderot tại Wikipedia tiếng Anh

Phương trình này đúng đối với một phân tử khí lý tưởng dạng cấu trúc có khối lượng m, trong đó E _c là động năng của nó tính bằng Joules, k _B là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ tuyệt đối tính bằng Kelvin.

Theo cách này, khi nhiệt độ tăng, động năng trung bình trên mỗi phân tử chất cũng tăng lên, như dự đoán sẽ xảy ra. Và điều ngược lại xảy ra khi nhiệt độ giảm, có thể đạt đến điểm mà nếu mọi chuyển động dừng lại, nhiệt độ thấp nhất có thể hoặc độ không tuyệt đối sẽ đạt được.

Khi nói về động năng trung bình, cần nhớ rằng động năng gắn liền với chuyển động. Và các hạt có thể di chuyển theo nhiều cách, chẳng hạn như di chuyển, quay hoặc rung động. Tất nhiên, không phải tất cả chúng đều làm theo cùng một cách, và vì chúng không thể đếm được, nên giá trị trung bình được lấy để mô tả đặc điểm của hệ thống.

Một số trạng thái năng lượng có nhiều khả năng hơn những trạng thái khác. Khái niệm này có tầm quan trọng triệt để trong nhiệt động lực học. Năng lượng được xét trong phương trình trước là động năng tịnh tiến. Xác suất của các trạng thái và mối quan hệ của nó với hằng số Boltzmann sẽ được thảo luận ở phần sau.

Vào năm 2018, Kelvin đã được định nghĩa lại và với nó là hằng số Boltzmann, trong Hệ thống quốc tế là khoảng 1.380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 . Có thể đạt được độ chính xác cao hơn đối với hằng số Boltzmann, hằng số này đã được xác định trong nhiều phòng thí nghiệm trên thế giới bằng các phương pháp khác nhau.

Lịch sử

Hằng số nổi tiếng mang tên nhà vật lý sinh ra tại Vienna, Ludwig Boltzmann (1844–1906), người đã cống hiến cuộc đời mình như một nhà khoa học để nghiên cứu hành vi thống kê của các hệ có nhiều hạt, theo quan điểm của cơ học Newton.

Mặc dù ngày nay sự tồn tại của nguyên tử đã được chấp nhận rộng rãi, nhưng vào thế kỷ 19, niềm tin về việc liệu nguyên tử có thực sự tồn tại hay là một tác phẩm giả tạo mà nhiều hiện tượng vật lý được giải thích vẫn còn là vấn đề tranh cãi.

Boltzmann là người bảo vệ trung thành cho sự tồn tại của nguyên tử, và trong thời gian của ông, ông đã phải đối mặt với những lời chỉ trích gay gắt về công trình của mình từ nhiều đồng nghiệp, những người coi nó chứa đựng những nghịch lý không thể giải quyết.

Ông tuyên bố rằng các hiện tượng quan sát được ở cấp độ vĩ mô có thể được giải thích bằng các đặc tính thống kê của các hạt cấu thành như nguyên tử và phân tử.

Có thể những lời chỉ trích này là do giai đoạn trầm cảm sâu sắc đã khiến ông phải kết liễu đời mình vào đầu tháng 9 năm 1906, khi ông vẫn còn nhiều việc phải làm, vì ông được coi là một trong những nhà vật lý lý thuyết vĩ đại cùng thời và chỉ còn rất ít việc phải làm. rằng các nhà khoa học khác góp phần chứng thực tính xác thực của lý thuyết của họ.

Không lâu sau khi ông qua đời, những khám phá mới về bản chất của nguyên tử và các hạt cấu thành của nó được bổ sung để chứng minh Boltzmann đúng.

Hằng số Boltzmann và công trình của Planck

Bây giờ hằng số Boltzmann k _B được giới thiệu như ngày nay được biết đến sau công trình của nhà vật lý người Áo. Đó là Max Planck, trong định luật phát xạ vật đen, một công trình mà ông đã trình bày vào năm 1901, người vào thời điểm đó đã cho nó giá trị là 1,34 x 10 ⁻²³ J / K.

Vào khoảng năm 1933, một tấm bảng với định nghĩa entropy liên quan đến hằng số nổi tiếng: S = k _B log W, một phương trình sẽ được thảo luận sau này , đã được thêm vào bia mộ của Boltzmann ở Vienna như một sự tưởng nhớ di cảo .

Ngày nay hằng số Boltzmann không thể thiếu trong việc ứng dụng các định luật nhiệt động lực học, cơ học thống kê và lý thuyết thông tin, những lĩnh vực mà nhà vật lý có kết cục đáng buồn này là người tiên phong.

Giá trị và phương trình

Các chất khí có thể được mô tả bằng các thuật ngữ vĩ mô và cả các thuật ngữ vi mô. Đối với mô tả đầu tiên có các khái niệm như mật độ, nhiệt độ và áp suất.

Tuy nhiên, cần nhớ rằng một chất khí bao gồm nhiều hạt, có xu hướng toàn cầu đối với một hành vi nhất định. Đó là xu hướng này được đo lường theo phương pháp vĩ mô. Một cách để xác định hằng số Boltzmann là nhờ vào phương trình khí lý tưởng nổi tiếng:

Ở đây p là áp suất của chất khí, V là thể tích của nó, n là số mol chất có, R là hằng số khí và T là nhiệt độ. Trong một mol khí lý tưởng, mối quan hệ sau đây được thỏa mãn giữa tích pV và động năng tịnh tiến K của toàn bộ là:

Do đó động năng là:

Bằng cách chia cho tổng số phân tử có mặt, sẽ được gọi là N, động năng trung bình của một hạt đơn lẻ thu được:

Trong một mol có số hạt Avogadro là N _A , và do đó tổng số hạt là N = nN A, còn lại:

Chính xác thương số R / N _A là hằng số Boltzmann, do đó được chứng minh rằng động năng tịnh tiến trung bình của một hạt chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối T chứ không phụ thuộc vào các đại lượng khác như áp suất, thể tích hoặc thậm chí là loại phân tử:

Hằng số Boltzmann và entropy

Một chất khí có một nhiệt độ nhất định, nhưng nhiệt độ đó có thể tương ứng với các trạng thái khác nhau của nội năng. Làm thế nào để hình dung sự khác biệt này?

Hãy xem xét việc lật đồng thời 4 đồng tiền và cách chúng có thể rơi:

Các cách trong đó 4 có thể rơi ra 4 xu. Nguồn: tự làm

Tập hợp các đồng tiền có thể giả định tổng cộng 5 trạng thái, được coi là vĩ mô, được mô tả trong hình. Người đọc sẽ nói trạng thái nào trong số những trạng thái này là có khả năng xảy ra nhất?

Câu trả lời phải là trạng thái của 2 đầu và 2 đuôi, vì bạn có tổng cộng 6 khả năng, trong số 16 khả năng được minh họa trong hình. Y 2 ⁴ = 16. Các trạng thái vi mô bằng nhau.

Điều gì sẽ xảy ra nếu 20 đồng xu được tung ra thay vì 4 đồng? Sẽ có tổng cộng 2 ²⁰ khả năng hoặc "trạng thái vi mô". Đó là một con số lớn hơn nhiều và khó xử lý hơn. Để thuận tiện cho việc xử lý các số lớn, logarit là rất thích hợp.

Bây giờ, điều hiển nhiên là có khả năng xảy ra trạng thái rối loạn lớn nhất. Các trạng thái có thứ tự hơn như 4 đầu hoặc 4 hải cẩu sẽ ít xảy ra hơn một chút.

Entropy của trạng thái vĩ mô S được định nghĩa là:

Trong đó w là số trạng thái vi mô có thể có của hệ và k _B là hằng số Boltzmann. Vì ln w không thứ nguyên nên entropi có cùng đơn vị với k _B : Joule / K.

Đây là phương trình nổi tiếng trên bia mộ của Boltzmann ở Vienna. Tuy nhiên, hơn entropy, điều có liên quan là sự thay đổi của nó:

Làm thế nào để bạn tính toán k

Giá trị của hằng số Boltzmann được thực nghiệm một cách cực kỳ chính xác với các phép đo dựa trên nhiệt kế âm học, được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất thiết lập sự phụ thuộc của tốc độ âm thanh trong chất khí với nhiệt độ của nó.

Thật vậy, tốc độ âm thanh trong chất khí được cho bởi:

B đoạn _nhiệt = γp

Và ρ là khối lượng riêng của chất khí. Đối với phương trình trên, p là áp suất của khí được đề cập và γ là hệ số đoạn nhiệt, giá trị của nó đối với một khí nhất định được tìm thấy trong bảng.

Các viện đo lường cũng đang thử nghiệm các cách khác để đo hằng số, chẳng hạn như Đo nhiệt độ ồn Johnson, sử dụng các dao động nhiệt ngẫu nhiên trong vật liệu, đặc biệt là chất dẫn điện.

Bài tập đã giải

-Bài tập 1

Tìm thấy:

a) Động năng tịnh tiến trung bình E _c mà phân tử khí lý tưởng có ở 25ºC

b) Động năng tịnh tiến K của các phân tử trong 1 mol khí này

c) Tốc độ trung bình của phân tử oxi ở 25ºC

Thực tế

m _oxy = 16 x 10 ^-3 kg / mol

Giải pháp

a) E _c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 x 298 K = 6,2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8.314 J / mol. K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ² , coi phân tử oxi là chất đioxit và khối lượng mol phân tử phải nhân với 2, ta sẽ có:

Tìm sự thay đổi entropi khi 1 mol khí chiếm thể tích 0,5 m ³ nở ra để chiếm 1 m ³ .

Giải pháp

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁ )

Người giới thiệu

1. Atkins, P. 1999. Hóa lý. Phiên bản Omega. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Vật lý cho Kỹ thuật và Khoa học. Tập 1. Mc Graw Hill. 664- 672.
3. Giancoli, D. 2006. Vật lý: Các nguyên tắc với ứng dụng. 6 .. Ed Prentice Hall. 443-444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Vật lý Đại học với Vật lý hiện đại. Ngày 14. Ed. Tập 1. 647-673.
5. CÓ Định nghĩa lại. Kelvin: Hằng số Boltzmann. Lấy từ: nist.gov