SỐ NGUYÊN TỐ: ĐẶC ĐIỂM, VÍ DỤ, BÀI TẬP - TOÁN HỌC - 2026

Số nguyên tố , còn được gọi là số tuyệt đối nguyên tố, là những số tự nhiên chỉ chia hết cho chính chúng và 1. Các số thuộc loại này như 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 và nhiều thêm.

Thay vào đó, một số tổng hợp chia hết cho chính nó, cho 1 và ít nhất một số khác. Chúng ta có ví dụ 12, chia hết cho 1, 2, 4, 6 và 12. Theo quy ước, 1 không có trong danh sách các số nguyên tố hoặc trong danh sách các hợp chất.

Hình 1. Một số số nguyên tố. Nguồn: Wikimedia Commons.

Kiến thức về số nguyên tố có từ thời cổ đại; người Ai Cập cổ đại đã sử dụng chúng và chúng chắc chắn đã được biết đến từ rất lâu trước đó.

Những con số này rất quan trọng, vì bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tích của các số nguyên tố, biểu diễn này là duy nhất, ngoại trừ thứ tự của các thừa số.

Thực tế này được thiết lập đầy đủ trong một định lý được gọi là định lý cơ bản của số học, trong đó nói rằng các số không phải là số nguyên tố nhất thiết phải được tạo thành từ các tích của các số là số nguyên tố.

Đặc điểm của số nguyên tố

Dưới đây là các đặc điểm chính của số nguyên tố:

- Chúng là vô hạn, vì bất kể một số nguyên tố lớn đến đâu, bạn luôn có thể tìm thấy một số lớn hơn.

-Nếu một số nguyên tố p không chia chính xác cho một số a khác thì ta nói rằng p và a là nguyên tố của nhau. Khi điều này xảy ra, ước chung duy nhất mà cả hai đều có là 1.

Không cần thiết phải là một số nguyên tố tuyệt đối. Ví dụ, 5 là số nguyên tố, và mặc dù không phải là 12, nhưng cả hai số đều nguyên tố với nhau, vì cả hai đều có 1 là ước chung.

-Khi một số nguyên tố p chia một lũy thừa của số n thì nó cũng chia cho n. Hãy xem xét 100, là lũy thừa của 10, cụ thể là 10 ² . Nó xảy ra rằng 2 chia cả 100 và 10.

-Tất cả các số nguyên tố đều lẻ trừ 2, do đó chữ số tận cùng của nó là 1, 3, 7 hoặc 9. 5 không được tính, bởi vì dù nó là số lẻ và nguyên tố, nó không bao giờ là con số cuối cùng của một số nguyên tố khác. Trên thực tế, tất cả các số kết thúc bằng 5 đều là bội của số này và do đó chúng không phải là số nguyên tố.

-Nếu p là số nguyên tố và ước của tích của hai số ab ​​thì p chia cho một trong hai số đó. Ví dụ, số nguyên tố 3 chia cho tích 9 x 11 = 99, vì 3 là ước của 9.

Làm thế nào để biết một số có phải là số nguyên tố hay không

Nguyên tố là tên gọi để chỉ chất lượng nguyên tố. Vâng, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat (1601-1665) đã tìm ra cách xác minh tính nguyên thủy của một số, trong cái gọi là định lý nhỏ của Fermat, nói rằng:

"Cho số tự nhiên nguyên tố p và bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 0, ^p - a là bội của p, miễn là p nguyên tố".

Chúng ta có thể chứng thực điều này bằng cách sử dụng các số nhỏ, ví dụ giả sử rằng p = 4, mà chúng ta đã biết không phải là số nguyên tố và đã = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Số 1290 không chia hết cho 4, do đó 4 không phải là số nguyên tố.

Bây giờ hãy làm bài kiểm tra với p = 5, là số nguyên tố và ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 chia hết cho 5, vì bất kỳ số nào kết thúc bằng 0 hoặc 5 đều được. Trong thực tế, 7760/5 = 1554. Vì định lý nhỏ của Fermat là đúng, chúng ta có thể đảm bảo rằng 5 là số nguyên tố.

Việc chứng minh định lý thông qua định lý là hiệu quả và trực tiếp với các số nhỏ, trong đó phép toán dễ thực hiện, nhưng phải làm gì nếu chúng ta được yêu cầu tìm tính nguyên hàm của một số lớn?

Trong trường hợp đó, số được chia liên tiếp cho tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn, cho đến khi tìm được phép chia chính xác hoặc thương nhỏ hơn số chia.

Nếu bất kỳ phép chia nào là chính xác, có nghĩa là số đó là hợp số và nếu thương nhỏ hơn số chia, điều đó có nghĩa là số đó là số nguyên tố. Chúng tôi sẽ áp dụng nó vào thực tế trong bài tập 2 đã giải.

Các cách tìm số nguyên tố

Có vô hạn số nguyên tố và không có công thức duy nhất để xác định chúng. Tuy nhiên, nhìn vào một số số nguyên tố như sau:

3, 7, 31, 127 …

Quan sát thấy rằng chúng có dạng 2 ⁿ - 1, với n = 2, 3, 5, 7, 9 … Chúng tôi đảm bảo điều này:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Nhưng chúng ta không thể đảm bảo rằng nói chung 2 ⁿ - 1 là số nguyên tố, vì có một số giá trị của n mà nó không hoạt động, ví dụ 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Và số 15 không phải là số nguyên tố, vì nó kết thúc bằng 5. Tuy nhiên, một trong những số nguyên tố lớn nhất đã biết, được tìm thấy bằng các phép tính của máy tính, có dạng 2 ⁿ - 1 với:

n = 57,885,161

Công thức của Mersenne đảm bảo với chúng ta rằng 2 ^p - 1 luôn là số nguyên tố, miễn là p cũng là số nguyên tố. Ví dụ, 31 là số nguyên tố, vì vậy chắc chắn rằng 2 ³¹ - 1 cũng là số nguyên tố :

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

Tuy nhiên, công thức chỉ cho phép bạn xác định một số số nguyên tố chứ không phải tất cả.

Công thức của Euler

Đa thức sau cho phép tìm số nguyên tố với điều kiện n nằm trong khoảng từ 0 đến 39:

P (n) = n ² + n + 41

Sau đó trong phần bài tập đã giải có một ví dụ về việc sử dụng nó.

Rây của Eratosthenes

Eratosthenes là một nhà vật lý và toán học đến từ Hy Lạp cổ đại sống ở thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên, ông đã nghĩ ra một phương pháp đồ họa để tìm các số nguyên tố mà chúng ta có thể áp dụng vào thực tế với các số nhỏ, nó được gọi là sàng Eratosthenes (một cái sàng giống như một cái sàng).

-Các con số được đặt trong một bảng giống như trong hình ảnh động.

-Các số chẵn bị gạch bỏ, trừ 2 số mà ta biết là số nguyên tố. Tất cả những cái khác là bội số của nó và do đó không phải là số nguyên tố.

-Các bội của 3, 5, 7, 11 cũng được đánh dấu, loại trừ tất cả vì ta biết chúng là số nguyên tố.

-Các bội số của 4, 6, 8, 9 và 10 đã được đánh dấu, bởi vì chúng là hợp chất và do đó là bội số của một số số nguyên tố được chỉ định.

-Cuối cùng, những số không có dấu là số nguyên tố.

Hình 2. Hình ảnh động của sàng Eratosthenes. Nguồn: Wikimedia Commons.

Bài tập

- Bài tập 1

Sử dụng đa thức Euler cho các số nguyên tố, hãy tìm 3 số lớn hơn 100.

Giải pháp

Đây là đa thức mà Euler đề xuất để tìm các số nguyên tố, áp dụng cho các giá trị của n từ 0 đến 39.

P (n) = n ² + n + 41

Bằng cách thử và sai, chúng tôi chọn một giá trị là n, ví dụ n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Vì n = 8 tạo ra một số nguyên tố lớn hơn 100, nên chúng ta đánh giá đa thức cho n = 9 và n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Bài tập 2

Tìm xem các số sau có phải là số nguyên tố hay không:

a) 13

b) 191

Giải pháp cho

Số 13 đủ nhỏ để sử dụng định lý nhỏ Fermat và sự trợ giúp của máy tính.

Chúng tôi sử dụng a = 2 để các số không quá lớn, mặc dù a = 3, 4 hoặc 5 cũng có thể được sử dụng:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 chia hết cho 2, vì nó là số chẵn, do đó 13 là số nguyên tố. Người đọc có thể chứng thực điều này bằng cách làm thử nghiệm tương tự với a = 3.

Giải pháp b

191 là quá lớn để chứng minh bằng định lý và một máy tính thông thường, nhưng chúng ta có thể tìm thấy phép chia giữa mỗi số nguyên tố. Chúng ta bỏ qua phép chia cho 2 vì 191 không chẵn và phép chia sẽ không chính xác hoặc thương nhỏ hơn 2.

Chúng tôi cố gắng chia cho 3:

191/3 = 63,666 …

Và nó không đưa ra chính xác, cũng không phải thương số nhỏ hơn số chia (63,666… lớn hơn 3)

Do đó, chúng tôi tiếp tục cố gắng chia 191 cho các số nguyên tố 5, 7, 11, 13 và không đạt được phép chia chính xác, cũng như thương số nhỏ hơn số chia. Cho đến khi nó chia hết cho 17:

191/17 = 11, 2352 …

Vì nó không chính xác và 11,2352… nhỏ hơn 17 nên số 191 là một số nguyên tố.

Người giới thiệu

1. Baldor, A. 1986. Số học. Các phiên bản và phân phối Codex.
2. Prieto, C. Các số nguyên tố. Đã khôi phục từ: paginas.matem.unam.mx.
3. Tính chất của số nguyên tố. Được khôi phục từ: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Số nguyên tố: cách tìm chúng bằng rây Eratosthenes. Đã khôi phục từ: smartick.es.
5. Wikipedia. Số nguyên tố. Được khôi phục từ: es.wikipedia.org.