HÌNH THANG CÂN: THUỘC TÍNH, MỐI QUAN HỆ VÀ CÔNG THỨC, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2025

Hình thang cân là tứ giác trong đó hai cạnh bên song song với nhau và ngoài ra hai góc kề một trong hai cạnh song song đó có cùng số đo.

Trong hình 1 ta có tứ giác ABCD, trong đó các cạnh AD và BC là song song. Ngoài ra, các góc ∠DAB và ∠ADC kề cạnh song song AD có cùng số đo α.

Hình 1. Hình thang cân. Nguồn: F. Zapata.

Vì vậy, tứ giác, hay đa giác bốn cạnh, về thực chất là một hình thang cân.

Trong hình thang, các cạnh đối song song được gọi là đáy và các cạnh không song song được gọi là cạnh bên. Một đặc tính quan trọng khác là chiều cao, là khoảng cách ngăn cách các cạnh song song.

Bên cạnh hình thang cân còn có các loại hình thang khác:

-Tấm men dạng lồi, có tất cả các góc và các mặt khác nhau.

- Hình thang vuông, trong đó có một cạnh là các góc kề bên vuông.

Hình thang phổ biến trong các lĩnh vực thiết kế, kiến ​​trúc, điện tử, tính toán và nhiều lĩnh vực khác, như sẽ thấy ở phần sau. Do đó tầm quan trọng của việc làm quen với các thuộc tính của nó.

Tính chất

Dành riêng cho hình thang cân

Nếu một hình thang cân thì nó có các tính chất đặc trưng sau:

1.- Các cạnh có cùng số đo.

2.- Các góc kề với mặt đáy bằng nhau.

3.- Các góc đối diện là phụ nhau.

4.- Các đường chéo có cùng độ dài, hai đoạn thẳng nối các đỉnh đối diện là như nhau.

5.- Góc tạo thành giữa hai đáy và hai đường chéo đều có cùng số đo.

6.- Nó có một chu vi ngoại tiếp.

Ngược lại, nếu một hình thang thỏa mãn bất kỳ tính chất nào ở trên thì đó là hình thang cân.

Nếu trong một hình thang cân một trong các góc là vuông (90º) thì tất cả các góc khác cũng sẽ vuông, tạo thành một hình chữ nhật. Đó là, một hình chữ nhật là một trường hợp cụ thể của hình thang cân.

Hình 2. Hộp đựng bắp rang bơ và bàn học có dạng hình thang cân. Nguồn: Pxfuel (trái) / McDowell Craig qua Flickr. (đúng)

Đối với tất cả các trapeze

Tập hợp các thuộc tính sau đây hợp lệ cho bất kỳ hình thang nào:

7. Đường trung bình của hình thang, tức là đoạn nối các trung điểm của các cạnh không song song của nó, song song với bất kỳ đáy nào.

8.- Chiều dài của trung vị bằng bán kỳ (tổng chia cho 2) của các cơ sở của nó.

9. Đường trung bình của hình thang cắt các đường chéo của nó tại trung điểm.

10. Các đường chéo của hình thang cắt nhau tại một điểm chia chúng thành hai phần tỉ lệ với thương của các đáy.

11. Tổng bình phương các đường chéo của một hình thang bằng tổng bình phương các cạnh của nó cộng với tích nhân đôi của các đáy.

12.- Đoạn nối trung điểm của hai đường chéo có độ dài bằng hiệu số bán phần của hai đáy.

13.- Các góc kề các cạnh là phụ nhau.

14. Một hình thang có chu vi nội tiếp khi và chỉ khi tổng các cạnh của nó bằng tổng các cạnh của nó.

15.- Nếu một hình thang có chu vi nội tiếp thì các góc có đỉnh ở tâm của chu vi nói trên và các cạnh đi qua các đáy của cùng một cạnh là góc vuông.

Mối quan hệ và công thức

Tập hợp các mối quan hệ và công thức sau đây được đề cập đến trong hình 3, trong đó ngoài hình thang cân, các đoạn quan trọng khác đã được đề cập được hiển thị, chẳng hạn như đường chéo, chiều cao và trung bình.

Hình 3. Đường trung bình, đường chéo, chiều cao và chu vi đường tròn ngoại tiếp hình thang cân. Nguồn: F. Zapata.

Mối quan hệ duy nhất của hình thang cân

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA và ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º và ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C và D thuộc đường tròn ngoại tiếp.

Mối quan hệ cho bất kỳ chuyến đi nào

1. Nếu AK = KB và DL = LC ⇒ KL - AD và KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 và DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC và DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º và ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Nếu AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R cách đều AD, BC thì AB và DC

15.- Nếu ∃ R cách đều AD, BC, AB và DC thì:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Quan hệ cho hình thang cân có chu vi nội tiếp

Nếu trong một hình thang cân mà tổng các cạnh bên bằng hai lần một cạnh thì tồn tại chu vi nội tiếp.

Hình 4. Hình thang có chu vi nội tiếp. Nguồn: F. Zapata.

Các tính chất sau được áp dụng khi hình thang cân có chu vi nội tiếp (xem hình 4 ở trên):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17. Các đường chéo cắt nhau vuông góc: AC ⊥ BD

18.- Các số đo chiều cao giống như trung tuyến: HF = KL, tức là h = m.

19. Bình phương chiều cao bằng tích của các căn: h ² = BC⋅AD

20.- Trong những điều kiện cụ thể này, diện tích hình thang bằng bình phương chiều cao hoặc tích của các đáy: Diện tích = h ² = BC⋅AD.

Các công thức để xác định một cạnh, biết những mặt khác và một góc

Biết một cơ sở, cạnh bên và một góc, cơ sở kia có thể được xác định bằng cách:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Nếu độ dài của đáy và một góc được cho là dữ liệu đã biết, thì độ dài của cả hai cạnh là:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Xác định một mặt, biết các mặt khác và một đường chéo

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Trong đó d ₁ là độ dài của các đường chéo.

Cơ sở từ chiều cao, diện tích và cơ sở khác

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Cơ sở bên đã biết, diện tích và một góc

c = (2A) /

Trung vị bên đã biết, diện tích và góc

c = A / (m sin α)

Chiều cao đã biết của các cạnh

h = √

Chiều cao đã biết một góc và hai cạnh

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin α

Đường chéo đã biết tất cả các cạnh, hoặc hai cạnh và một góc

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Chu vi tam giác cân

P = a + b + 2c

Isosceles hình thang khu vực

Có một số công thức để tính diện tích, tùy thuộc vào dữ liệu đã biết. Sau đây là cách tốt nhất được biết đến, tùy thuộc vào các căn cứ và chiều cao:

A = h⋅ (a + b) / 2

Và bạn cũng có thể sử dụng những cái khác sau:

-Nếu các bên được biết

A = √

-Khi bạn có hai cạnh và một góc

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Nếu biết bán kính đường tròn nội tiếp và một góc

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Khi biết cơ sở và góc

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Nếu hình thang nội tiếp được một chu vi

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Biết được các đường chéo và góc chúng tạo với nhau

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Khi bạn có cạnh bên, đường trung bình và một góc

A = mc.sen α = mc.sen β

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp

Chỉ hình thang cân mới có chu vi ngoại tiếp hình thang. Nếu biết cơ sở lớn hơn a, cạnh bên c và đường chéo d ₁ thì bán kính R của đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình thang là:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Trong đó p = (a + c + d ₁ ) / 2

Ví dụ về sử dụng hình thang cân

Hình thang cân xuất hiện trong lĩnh vực thiết kế, như trong Hình 2. Và đây là một số ví dụ bổ sung:

Trong kiến ​​trúc và xây dựng

Người Inca cổ đại đã biết hình thang cân và sử dụng nó như một yếu tố xây dựng trong cửa sổ này ở Cuzco, Peru:

Hình 5. Cửa sổ hình thang của Coricancha, Cuzco. Nguồn: Wikimedia Commons.

Và ở đây hình thang lại xuất hiện trong cái gọi là tấm hình thang, một vật liệu thường được sử dụng trong xây dựng:

Hình 6. Tấm kim loại hình thang bảo vệ tạm thời các cửa sổ của một tòa nhà. Nguồn: Wikimedia Commons.

Trong thiết kế

Chúng ta đã thấy rằng hình thang cân xuất hiện trong các đồ vật hàng ngày, bao gồm cả thực phẩm như thanh sô cô la này:

Hình 7. Thanh sô cô la có các mặt có dạng hình thang cân. Nguồn: Pxfuel.

Bài tập đã giải

- Bài tập 1

Một hình thang cân có đáy lớn hơn 9 cm, đáy nhỏ hơn 3 cm và các đường chéo của mỗi cạnh là 8 cm. Tính toán:

qua một bên

b) Chiều cao

c) Chu vi

d) Diện tích

Hình 8. Lược đồ bài tập 1. Nguồn: F. Zapata

Giải pháp cho

Chiều cao CP = h được vẽ biểu đồ, trong đó chân của chiều cao xác định các đoạn:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác vuông DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Và đối với tam giác vuông APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Cuối cùng, từng thành viên được trừ đi, phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất và được đơn giản hóa:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Giải pháp b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Giải pháp c

Chu vi = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Giải pháp d

Diện tích = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Bài tập 2

Có một hình thang cân có đáy lớn hơn gấp đôi và đáy nhỏ hơn bằng chiều cao là 6 cm. Quyết định:

a) Chiều dài của cạnh bên

b) Chu vi

c) Khu vực

d) Góc

Hình 8. Sơ đồ bài tập 2. Nguồn: F. Zapata

Giải pháp cho

Dữ liệu: a = 12, b = a / 2 = 6 và h = b = 6

Ta tiến hành như sau: ta vẽ chiều cao h và áp dụng định lý Pitago cho tam giác cạnh huyền «c» và chân h và x:

c ² = h ² + xc ²

Sau đó, bạn phải tính giá trị của chiều cao từ dữ liệu (h = b) và của chân x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Thay thế các biểu thức trước đó chúng ta có:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Bây giờ các giá trị số được giới thiệu và nó được đơn giản hóa:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Thu được:

c = 3√5 = 6,71 cm

Giải pháp b

Chu vi P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Giải pháp c

Diện tích là một hàm của chiều cao và chiều dài của các đáy là:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Giải pháp d

Góc α mà mặt bên tạo với đáy lớn hơn nhận được bằng lượng giác:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Góc còn lại, góc tạo thành mặt bên với đáy nhỏ hơn là β, bổ sung cho α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Người giới thiệu

1. EA 2003. Các yếu tố của hình học: với các bài tập và hình học của la bàn. Đại học Medellin.
2. Campos, F. 2014. Toán học 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Khám phá Đa giác. Công ty Giáo dục Điểm chuẩn.
4. Hendrik, V. 2013. Đa giác tổng quát. Birkhäuser.
5. IGER. Toán học học kỳ I Tacaná. IGER.
6. Hình học Jr. 2014. Đa giác. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren và Hornsby. 2006. Toán học: Lý luận và Ứng dụng. ngày 10. Phiên bản. Giáo dục Pearson.
8. Patiño, M. 2006. Toán học 5. Progreso biên tập.
9. Wikipedia. Gài bẫy. Phục hồi từ: es.wikipedia.com