TẬP HỢP VÔ HẠN: THUỘC TÍNH, VÍ DỤ - TOÁN HỌC - 2025

Tập hợp vô hạn được hiểu là tập hợp mà số phần tử của nó là không đếm được. Có nghĩa là, bất kể số lượng các phần tử của nó có thể lớn đến mức nào, vẫn luôn có thể tìm được nhiều hơn.

Ví dụ phổ biến nhất là tập hợp vô hạn các số tự nhiên N . Không quan trọng con số lớn như thế nào, vì bạn luôn có thể nhận được một con số lớn hơn trong một quá trình không có hồi kết:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Hình 1. Biểu tượng của vô cực. (pix ·)

Tập hợp các ngôi sao trong vũ trụ chắc chắn là vô cùng lớn, nhưng người ta không biết chắc nó là hữu hạn hay vô hạn. Ngược lại với số lượng hành tinh trong hệ mặt trời được biết đến là một tập hợp hữu hạn.

Thuộc tính của tập hợp vô hạn

Trong số các thuộc tính của tập hợp vô hạn, chúng ta có thể chỉ ra những điều sau:

1- Sự hợp nhất của hai tập hợp vô hạn làm phát sinh một tập hợp vô hạn mới.

2- Sự kết hợp của một tập hợp hữu hạn với một tập hợp vô hạn làm phát sinh một tập hợp vô hạn mới.

3- Nếu tập con của một tập đã cho là vô hạn thì tập ban đầu cũng vô hạn. Câu lệnh đối ứng không đúng.

Bạn không thể tìm thấy một số tự nhiên có khả năng biểu thị số lượng hoặc số phần tử của một tập hợp vô hạn. Tuy nhiên, nhà toán học người Đức Georg Cantor đã đưa ra khái niệm số vô hạn để chỉ một số vô hạn lớn hơn bất kỳ số tự nhiên nào.

Ví dụ

N tự nhiên

Ví dụ thường xuyên nhất về tập hợp vô hạn là tập hợp các số tự nhiên. Các số tự nhiên là những số được sử dụng để đếm, tuy nhiên các số nguyên tồn tại là không thể đếm được.

Tập hợp các số tự nhiên không bao gồm số 0 và thường được ký hiệu là tập hợp N , ở dạng mở rộng được biểu diễn như sau:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Và rõ ràng là một tập vô hạn.

Dấu chấm lửng được sử dụng để chỉ ra rằng sau một số này, một số khác theo sau và sau đó là một số khác trong một quá trình vô tận hoặc vô tận.

Tập hợp các số tự nhiên tham gia với tập có chứa số không (0) được gọi là tập N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Là kết quả của phép hợp của tập vô hạn N với tập hữu hạn O = {0}, tạo ra tập vô hạn N + .

Các số nguyên Z

Tập hợp các số nguyên Z được tạo thành từ các số tự nhiên, số tự nhiên có dấu và số không.

Các số nguyên Z được coi là một sự tiến hóa so với các số tự nhiên N được sử dụng ban đầu và chủ yếu trong quá trình đếm.

Trong tập hợp số Z gồm các số nguyên, số 0 được kết hợp để đếm hoặc không đếm gì và các số âm để đếm chiết xuất, mất mát hoặc thiếu thứ gì đó.

Để minh họa ý tưởng, giả sử có số dư âm xuất hiện trong tài khoản ngân hàng. Điều này có nghĩa là tài khoản dưới 0 và không chỉ là tài khoản trống mà còn có một khoản chênh lệch bị thiếu hoặc âm, bằng cách nào đó phải được thay thế cho ngân hàng.

Ở dạng mở rộng, tập Z vô hạn của các số nguyên được viết như sau:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Các hợp lý Q

Trong sự phát triển của quá trình đếm và trao đổi mọi thứ, hàng hóa hoặc dịch vụ, số phân số hoặc số hữu tỉ xuất hiện.

Ví dụ, trong vụ trao đổi nửa ổ bánh mì với hai quả táo, tại thời điểm ghi lại giao dịch, một người nào đó đã nhận ra rằng một nửa nên được viết thành một chia hoặc chia thành hai phần: ½. Nhưng một nửa số bánh mì sẽ được ghi vào sổ cái như sau: ½ / ½ = ¼.

Rõ ràng là quá trình phân chia này có thể là vô tận về mặt lý thuyết, mặc dù trên thực tế là cho đến khi đạt đến hạt bánh mì cuối cùng.

Tập hợp các số hữu tỉ (hoặc phân số) được ký hiệu như sau:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Dấu chấm lửng giữa hai số nguyên có nghĩa là giữa hai số hoặc giá trị đó có phân chia hoặc phân chia vô hạn. Đó là lý do tại sao tập hợp các số hữu tỉ được cho là dày đặc vô hạn. Điều này là do bất kể hai số hữu tỉ có thể gần nhau đến đâu, thì vẫn có thể tìm được giá trị vô hạn.

Để minh họa điều trên, giả sử rằng chúng ta được yêu cầu tìm một số hữu tỉ từ 2 đến 3. Số này có thể là 2⅓, được gọi là hỗn số bao gồm 2 phần nguyên cộng với một phần ba đơn vị, là tương đương với cách viết 4/3.

Giữa 2 và 2⅓ có thể tìm thấy một giá trị khác, ví dụ 2⅙. Và từ 2 đến 2⅙ một giá trị khác có thể được tìm thấy, ví dụ 2⅛. Giữa hai cái khác, và giữa chúng cái khác, cái khác và cái khác.

Hình 2. Phép chia vô hạn trong số hữu tỉ. (wikimedia commons)

Số vô tỉ I

Có những số không thể viết thành phép chia hoặc phân số của hai số nguyên. Chính tập hợp số này được gọi là tập I của các số vô tỉ và nó cũng là một tập hợp vô hạn.

Một số yếu tố hoặc đại diện đáng chú ý của tập hợp số này là số pi (π), số Euler (e), tỷ lệ vàng hoặc số vàng (φ). Những con số này chỉ có thể được viết gần đúng bằng một số hữu tỉ:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (và tiếp tục đến vô cùng và xa hơn nữa…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (và tiếp tục vượt ra ngoài vô cùng…)

φ = 1,61803398874989484820 …… .. (đến vô cùng… ..và xa hơn nữa… ..)

Các số vô tỉ khác xuất hiện khi cố gắng tìm lời giải cho các phương trình rất đơn giản, ví dụ phương trình X ^ 2 = 2 không có nghiệm hữu tỉ chính xác. Lời giải chính xác được biểu thị bằng ký hiệu sau: X = √2, được đọc là x bằng căn của hai. Biểu thức hữu tỉ (hoặc thập phân) gần đúng cho √2 là:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Có vô số số vô tỉ, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) để gọi tên một số.

Tập hợp các thực R

Số thực là bộ số thường được sử dụng nhất trong giải tích toán học, vật lý và kỹ thuật. Tập hợp số này là hợp của số hữu tỉ Q và số vô tỉ I :

R = Q U I

Vô cực lớn hơn vô cực

Trong số các tập hợp vô hạn, một số lớn hơn các tập khác. Ví dụ, tập hợp các số tự nhiên N là vô hạn nhưng là một tập hợp con của các số nguyên Z mà là vô hạn, vì vậy bộ vô hạn Z lớn hơn tập vô hạn N .

Tương tự, tập các số nguyên Z là tập con của các số thực R , và do đó tập R là "vô cùng" là tập Z vô hạn .

Người giới thiệu

1. Celeberrima. Ví dụ về tập hợp vô hạn. Phục hồi từ: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). TOÁN HỌC CƠ BẢN. Giới thiệu về Giải tích. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Toán học: phương trình bậc hai: Cách giải một phương trình bậc hai. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Toán học cho quản lý và kinh tế. Giáo dục Pearson.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Toán học 1 SEP. Ngưỡng.
6. Preciado, CT (2005). Môn Toán học thứ 3. Biên tập Progreso.
7. Rock, NM (2006). Đại số tôi thật dễ dàng! Quá dễ. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Đại số và Lượng giác. Giáo dục Pearson.
9. Wikipedia. Tập hợp vô hạn. Phục hồi từ: es.wikipedia.com