GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC LÀ GÌ? (BÀI TẬP ĐÃ GIẢI) - TOÁN HỌC - 2025

Các giới hạn lượng giác là giới hạn của các chức năng như vậy mà các chức năng này được hình thành bởi hàm lượng giác.

Có hai định nghĩa cần phải biết để hiểu cách tính giới hạn lượng giác.

Các định nghĩa này là:

- Giới hạn của một hàm «f» khi «x» có xu hướng là «b»: nó bao gồm việc tính giá trị mà f (x) tiến tới khi «x» tiến đến «b», mà không đến «b» ».

- Các hàm lượng giác: các hàm lượng giác là các hàm sin, cosin và tiếp tuyến, ký hiệu lần lượt là sin (x), cos (x) và tan (x).

Các hàm lượng giác khác nhận được từ ba hàm số nói trên.

Giới hạn chức năng

Để làm rõ khái niệm giới hạn hàm, chúng ta sẽ tiến hành đưa ra một số ví dụ với các hàm đơn giản.

- Giới hạn của f (x) = 3 khi "x" có xu hướng bằng "8" bằng "3", do hàm luôn không đổi. Bất kể "x" có giá trị bao nhiêu, giá trị của f (x) sẽ luôn là "3".

- Giới hạn của f (x) = x-2 khi «x» có xu hướng là «6» là «4». Kể từ khi "x" tiếp cận "6" thì "x-2" tiến tới "6-2 = 4".

- Giới hạn của g (x) = x² khi "x" có xu hướng là "3" bằng 9, vì khi "x" tiến tới "3" thì "x²" tiến tới "3² = 9" .

Như có thể thấy trong các ví dụ trước, việc tính toán giới hạn bao gồm việc đánh giá giá trị mà "x" có xu hướng trong hàm và kết quả sẽ là giá trị của giới hạn, mặc dù điều này chỉ đúng với các hàm liên tục.

Có nhiều giới hạn phức tạp hơn không?

Câu trả lời là có. Các ví dụ trên là những ví dụ đơn giản nhất về giới hạn. Trong sách giải tích, các bài tập về giới hạn chính là những bài tập tạo ra giá trị không xác định kiểu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 và (∞) ^ 0.

Những biểu thức này được gọi là không xác định vì chúng là những biểu thức không có ý nghĩa về mặt toán học.

Ngoài ra, tùy thuộc vào các hàm liên quan đến giới hạn ban đầu, kết quả thu được khi giải các bất định có thể khác nhau trong từng trường hợp.

Ví dụ về giới hạn lượng giác đơn giản

Để giải các giới hạn, luôn rất hữu ích khi biết đồ thị của các hàm liên quan. Đồ thị của các hàm số sin, côsin và tiếp tuyến được hiển thị bên dưới.

Một số ví dụ về các giới hạn lượng giác đơn giản là:

- Tính giới hạn của sin (x) khi «x» có xu hướng về «0».

Khi nhìn vào biểu đồ, có thể thấy rằng nếu "x" tiến gần đến "0" (cả từ trái và phải), thì biểu đồ sin cũng tiến gần đến "0". Do đó, giới hạn của sin (x) khi "x" có xu hướng về "0" là "0".

- Tính giới hạn của cos (x) khi «x» có xu hướng về «0».

Quan sát đồ thị của côsin có thể thấy rằng khi "x" gần bằng "0" thì đồ thị của côsin gần bằng "1". Điều này ngụ ý rằng giới hạn của cos (x) khi "x" có xu hướng bằng "0" bằng "1".

Một giới hạn có thể tồn tại (là một số), như trong các ví dụ trước, nhưng cũng có thể xảy ra trường hợp nó không tồn tại như thể hiện trong ví dụ sau.

- Giới hạn của tan (x) khi «x» có xu hướng «Π / 2» từ trái sang bằng «+ ∞», như có thể thấy trong đồ thị. Mặt khác, giới hạn của tan (x) khi "x" có xu hướng nghiêng về "-Π / 2" từ bên phải bằng "-∞".

Nhận dạng giới hạn lượng giác

Hai nhận dạng rất hữu ích khi tính các giới hạn lượng giác là:

- Giới hạn của «sin (x) / x» khi «x» có xu hướng về «0» bằng «1».

- Giới hạn của «(1-cos (x)) / x» khi «x» có xu hướng về «0» bằng «0».

Những danh tính này được sử dụng rất thường xuyên khi bạn có một số loại không xác định.

Bài tập đã giải

Giải quyết các giới hạn sau bằng cách sử dụng các nhận dạng được mô tả ở trên.

- Tính giới hạn của «f (x) = sin (3x) / x» khi «x» có xu hướng về «0».

Nếu hàm "f" được đánh giá là "0", thì giá trị không xác định của loại 0/0 sẽ nhận được. Do đó, chúng ta phải cố gắng giải quyết sự không xác định này bằng cách sử dụng các đặc điểm nhận dạng được mô tả.

Sự khác biệt duy nhất giữa giới hạn này và danh tính là số 3 xuất hiện trong hàm sin. Để áp dụng đồng nhất, hàm «f (x)» phải được viết lại theo cách sau «3 * (sin (3x) / 3x)». Bây giờ cả đối số sin và mẫu số đều bằng nhau.

Vì vậy, khi "x" có xu hướng "0", sử dụng danh tính sẽ cho "3 * 1 = 3". Do đó, giới hạn của f (x) khi "x" có xu hướng bằng "0" bằng "3".

- Tính giới hạn của «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» khi «x» có xu hướng về «0».

Khi thay "x = 0" bằng g (x), ta nhận được giá trị không xác định kiểu ∞-∞. Để giải nó, đầu tiên các phân số được trừ đi, cho ra "(1-cos (x)) / x".

Bây giờ, áp dụng nhận dạng lượng giác thứ hai, chúng ta có giới hạn của g (x) khi «x» có xu hướng «0» bằng 0.

- Tính giới hạn của «h (x) = 4tan (5x) / 5x» khi «x» có xu hướng về «0».

Một lần nữa, nếu h (x) được đánh giá là "0", thì giá trị không xác định của loại 0/0 sẽ nhận được.

Viết lại dưới dạng (5x) thành sin (5x) / cos (5x) cho kết quả là h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Sử dụng rằng giới hạn của 4 / cos (x) khi "x" có xu hướng bằng "0" bằng "4/1 = 4" và nhận dạng lượng giác đầu tiên thu được giới hạn của h (x) khi "x" có xu hướng "0" bằng "1 * 4 = 4".

Quan sát

Các giới hạn lượng giác không phải lúc nào cũng dễ giải. Chỉ có các ví dụ cơ bản được hiển thị trong bài viết này.

Người giới thiệu

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Toán học Precalculus: một cách tiếp cận giải quyết vấn đề (2, Ấn bản có minh họa). Michigan: Hội trường Prentice.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Đại số và lượng giác với hình học giải tích. Giáo dục Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ấn bản). Học tập Cengage.
5. Leal, JM & Viloria, NG (2005). Hình học Giải tích Mặt phẳng. Mérida - Venezuela: Biên tập Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Giải tích (Xuất bản lần thứ chín). Sảnh Prentice.
8. Saenz, J. (2005). Phép tính vi phân với các hàm siêu việt ban đầu dành cho Khoa học và Kỹ thuật (Phiên bản thứ hai xuất bản). Cạnh huyền.
9. Scott, CA (2009). Hình học Mặt phẳng Descartes, Phần: Giải tích Conics (1907) (tái bản ed.). Nguồn sét.
10. Sullivan, M. (1997). Tính toán trước. Giáo dục Pearson.